关于长整形乘法取模的溢出问题的解决办法

//依旧是搬运..

最近看到一个快速乘法的板子，心生好奇，仔细看了看，跟快速幂的写法很像，然而却不是“快速”乘法，但却能解决乘法取模的溢出问题。

众所周知，C++中，对两个长整形进行乘法并取模，在乘法时得到的中间值有可能会超过long long的范围，从而产生数据溢出，得到不可预知的结果。而在程序设计竞赛中，这种情况是经常会出现的，需要我们掌握处理的办法。那么针对这种问题我们有没有解决办法呢？答案是有的。

首先我们可以先考虑一种做法：按位乘。对于两个十进制的数字a，b，我们可以将b一位一位的与a相乘，并在每次进位时，将a*10并对p取模。当然，取的模与两数乘法取的模一致。这样，每步得到的结果便是b当前位数字与a的值的乘积。每次相乘，将得到的结果相加并进行取模。这样，便可得出a*b%p。

考虑更接近计算机的做法：将两个数视为2进制，此时b的每一位只能是0或1，再次减少了进行乘法的次数，算法的时间复杂度为O(log b)。笔者也不清楚这样处理与直接乘法消耗时间的优劣，但对于处理可能溢出的数据，这样的做法很有效。

贴一下代码：

long long q_mul(long long a,long long b,long long p)
{
    long long sum = 0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            sum = (sum+a)%p;
        a=a<<1;
        a%=p;
        b=b>>1;
    }
    return sum;
}

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