余数（一）

线性方程与最大公约数

已知两个整数$a$和$b$，我们观察$a$的倍数和$b$的倍数所有可能会得到的结果，也就是说，考察$ax+by$所得到的所有可能的结果，其中$x$和$y$取整数（可为负整数）。
设 $a=42,b=30$,$42x+30y$的部分取值结果如下表所示：

仔细观察上表的结果，我们可以发现，表中所有的数值都可以被6整除，即$ax+by$的每个数都被$gcd(a,b)$整除；
因为$42x+30y=6\cdot (7x+5y)$，无论$7x+5y$取任何整数，$6\cdot (7x+5y)$都能被6整除；
当$7x+5y=1$时，$42x+30y$得到一个最小的正整数解6，即$42\cdot 2+30\cdot 3=6=gcd(42,30).$

于是，我们得到了以下的结论：
定理A 设$a$和$b$不全为0，则存在整数x和y使得$xa+yb=gcd(a,b)$

使用欧几里得原理来证明上述的定理。证明过程如下：
（1）当$b=0$，$gcd(a,b)=a$，此时$x=1,y=0$ ,$xa+yb=gcd(a,b)$成立。

（2）当a>b>0时，有
$a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)$;
$b{x}_2+(amodb)y_2=gcd(b,amodb)$;
根据欧几里德原理，有$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$，可知：
$a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(amodb)y_2=b{x}_2+(a-\lfloor a÷b\rfloor \ast b)y_2$
将上式展开，$a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b(x_2-\lfloor a÷b\rfloor \ast y_2)$
可得$x_1=y_2,y1=x_2-\lfloor a÷b\rfloor \ast y_2$
假设我们已经求出了$x_2$和$y_2$，通过上面的公式我们就得到了求$x_1$和$y_1$的方法。

由$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b=r_1)=gcd(r_1,b\%r_1=r_2)=gcd(r_2,r1\%r_2=r3)=...=gcd(r_{k-3},r_{k-4}\%r_{k-3})=gcd(r_{k-2},0)=r_{k-1}$可知，
使用欧几里德方法计算到最后一步时（即$gcd(r_{k-1},0)=r_{k-1}$)，这时$x_k=1,y_k=0$，通过($x_k,y_k$) 的值就可以依次求出($x_{k-1},y_{k-1}$)，($x_{k-2},y_{k-2}$)…($x_3,y_3$)，($x_2,y_2$)，($x_1,y_1$)的值。计算过程如下图所示：

综上所述，可以证明定理A成立。

例.求线性方程$22x+60y=gcd(22,60)$
解：
（1）$22x_1+60y_1=gcd(22,60)$
（2）$60x_2+20y_2=gcd(60,22\%60=22)$
（3）$22x_3+16y_3=gcd(22,60\%22=16)$
（4）$16x_4+6y_4=gcd(16,22\%16=6)$
（5）$6x_5+4y_5=gcd(6,16\%6=4)$
（6）$4x_6+2y_6=gcd(4,6\%4=2)$
（7）$=gcd(2,4\%2=0)=2$，此时$x_7=1,y_7=0$

由$x_{k-1}=y_k,y_{k-1}=x_k-\lfloor a÷b\rfloor \ast y_k$可以求出:
（6）$x_6=y_7=0,y_6=x_7-\lfloor 4÷2\rfloor \ast y_7=1$
（5）$x_5=y_6=1,y_5=x_6-\lfloor 6÷4\rfloor \ast y_6=-1$
（4）$x_4=y_5=-1,y_4=x_5-\lfloor 16÷6\rfloor \ast y_5=3$
（3）$x_3=y_4=3,y_3=x_4-\lfloor 22÷16\rfloor \ast y_4=-4$
（2）$x_2=y_3=-4,y_2=x_3-\lfloor 60÷22\rfloor \ast y_3=11$
（1）$x_1=y_2=11,y_1=x_2-\lfloor 22÷60\rfloor \ast y_2=-4$
所以方程的一组解为$x\equiv 11(mod60)$

求解的代码如下：

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    
       
 if(b==0)    {
    
           
   x = 1;       
   y = 0;       
   return a;   
 }    
int r = exGcd(b,a%b,x,y);    
t = x; 
x = y;   
y = t-a/b*y;    
return r;
}

线性方程

定理B 整数$a$和$b$互素的充分必要条件是存在整数$x$和$y$使得$xa+yb=1.$
证明：
必要性： 由上述的 [定理A] 可得出，如果$xa+yb=1$，当$gcd(a,b)=1$时，方程有解。

充分性：
设$d>0$且$d$是$a$和$b$的公因子，则有$d|a,d|b\to d|xa+yb\to d|1.$
再由性质【如果$a|b$且$b\ne 0$，则$|a|\le |b|$】得出结论，$d=1$，得证$a$与$b$互素.

假如$gcd(a,b)=1,(x_1,y_1)$是方程$ax+by=1$的一个解。
通过$x_1$减去$b$的倍数和$y_1$加上$a$的相同倍数，可以得到其它解，也就是说，对于任何整数$k$，我们得到其它解为$(x_1+kb,y_1-ka)$($k$为整数)
$a(x_1+kb)+b(y_1-ka)=a{x}_1+akb+b{y}_1-bka=a{x}_1+b{y}_1=1.$

例如 $5x+3y=1$的一个解为$(-1,2)$，在此基础上可能得到新解$(-1+3k,2-5k)$通过k的值可以得到一些解
$$...,(-13,22),(-10,17),(-7,12),(-4,7),(-1,2),(2,-3)...$$

如果$gcd(a,b)>1$情况会如何呢？

线性方程定理

因为$g$整除$a$与$b$，我们令$g=gcd(a,b)$，故$(x_1,y_1)$是简单方程$\frac{a}{g}x+\frac{b}{g}y=1$的解，根据前面的方法，通过将$k$的值代入
$$(x_1+k\cdot \frac{b}{g},y_1-k\cdot \frac{a}{g})$$
可以得到其他解。

例.$60x+22y=gcd(60,22)=2$，方程有解，求出其中一个解为：$x=-4,y=11$，
由线性方程定理可知每个解都可以由公式$(-4+11k,11-30k)$（$k$为整数）得到；
当$k=1$时，$x$是最小的正整数解。

同余的定义

设$m$是正整数，$a$和$b$是整数，如果$m|a-b$，则称$a$模$m$同余于$b$，或$a$与$b$模$m$同余，记作 $a\equiv b(modm)$.如果$a$与$b$不同余，则记作$a\ne b(modm)$

$a$与$b$同余的充分必要条件：
（1）$a$与$b$除以$m$的余数相同，即$amodm=bmodm$.
（2）$a=b+km$,其中$k$是整数.

同余的性质

性质1 自反性：$a\equiv a(modm)$
性质2 传递性 $a\equiv b(modm),b\equiv c(modm)\to a\equiv c(modm)$
性质3 对称性 $a\equiv b(modm)\to b\equiv a(modm)$
由传递性，常把$a_1\equiv a_2(modm),a_2\equiv a_3(modm),a_{k-1}\equiv a_k(modm)写成a_1\equiv a_2\equiv ...a_k(modm)$

性质4 模算术运算
若$a\equiv b(modm),c\equiv d(modm),则a\pm c\equiv b\pm d(modm),ac\equiv bd(modm)$
$a^k\equiv b^k(modm)$，其中$k$是非负整数。

性质4 的证明
以$a\equiv b(modm),c\equiv d(modm)$,则 $a+c\equiv b+d(modm)$为例
$a\equiv b(modm)\to a=b+k_1\cdot m$
$c\equiv d(modm)\to c=d+k_2\cdot m$
两式相加，可得$a+c\equiv b+d+(k_1+k_2)\cdot m$，又因为$k_1+k_2$ 为整数，
$a+c\equiv b+d+(k_1+k_2)\cdot m\to a+c\equiv b+d(modm)$
其它的性质证明过程也一样，这里不再赘述。

性质5
设$c$与$m$互素，则 $a\equiv b(modm)\leftrightarrow ca\equiv cb(modm)$

性质5证明
符合条件的例子：$3\equiv 8(mod5)$，设$c=2$,其中3和5互素，得到$6\equiv 16(mod5)$
不符合条件的例子：$15\cdot 2\equiv 20\cdot 2(mod10)$，15和20不互素且$gcd(15,20)=5$，得到$15\ne 20(mod10)$

（1）对于任意的整数$c$和$m$，可得出$a\equiv b(modm)\to ca\equiv cb(modm)$
证明过程和性质4的过程相同，略。

（2）现在来证明$ca\equiv cb(modm)\to a\equiv b(modm)$
由$ca\equiv cb(modm)$可知，$m|ca-cb$，即$m|c\cdot (a-b)$
又因为$c$和$m$互素，必然得到$m|a-b$，可得$a\equiv b(modm)$

练习
$3^{455}$的个位数是多少？
解：设$3^{455}$的个位数为x，则有$3^{455}\equiv x(mod10).$由$3^4\equiv 1(mod10)$和性质4可得：
$$3^{455}\equiv 3^{4\ast 333+3}\equiv 3^3\equiv 7(mod10)$$
故$3^{455}$的个位数是 7 .

一次同余方程

定义
设$m>0$，方程$ax\equiv c(modm)$ 称作一次同余方程，使式子成立的整数为方程的解。
一次同余方程$ax\equiv c(modm)$也可以写作线性方程$ax+my=c.$

例1. 有同余方程$5x\equiv 1(mod10)$，此方程有解的前提是 $10|5x-1$,此方程无解。
例2. 有同余方程$2x\equiv 1(mod3)$，此方程有解的前提是 $3|2x-1$，我们很容易的可以得出其中的一个解$x=2$，当然，$x=5$和$x=8$也是方程的一个解，实际上，同余方程只要有解，就有无数个解，解可以表示为 $x=2+3k$ ($k$为整数)，即$x\equiv 1(mod3)$。

对于同于方程$ax\equiv c(modm)$，假设$x_0$是方程的一个解，同余方程的通解为$x\equiv x_0(modm)$
我们可以简单的证明一下:
假设$x_0$是同余方程$ax\equiv c(modm)$的一个解，
由$m|ax-c$推出$m|a(x+m)-c.$
$m|a(x+m)-c\to m|ax-c+am$
$m|ax-c,m|am\to m|a(x+m)-c.$
同余方程可以使用线性方程来表示，之前所说的线性方程定理也证明了这个结论是正确的。

对于有的同余方程来说，可能不止一个通解，比如同余方程$4x\equiv 2(mod6)$有两个通解，即$x_0\equiv 2(mod6)$和$x_1\equiv 5(mod6)$。

如何计算出所有的通解，只需要计算出所有通解的最小正整数解就行了，$ax\equiv c(modm)$的最小正整数解的范围为$0,1,2,...m-1$,枚举这个范围的每一个数是否符合要求就可以了。

例：求解同余方程$4x\equiv 2(mod6)$
$x=0$时，$4\ast 0\equiv 0(mod6)$
$x=1$时，$4\ast 1\equiv 4(mod6)$ 一个解。
$x=2$时，$4\ast 2\equiv 2(mod6)$
$x=3$时，$4\ast 3\equiv 0(mod6)$
$x=4$时，$4\ast 4\equiv 4(mod6)$
$x=5$时，$4\ast 5\equiv 2(mod6)$ 一个解。

如果同余方程$ax+my=c$ 有解，设$d=gcd(a,m)$，方程在模m下有d个不同余的解。
证明：
假设$a{x}_1$是同余式$ax\equiv c(modm)$的其它解，$d=gcd(a,m)$
则有$a{x}_1\equiv a{x}_0(modm)$——》$m$整除$a{x}_1-a{x}_0$.

同时除掉公约数$d$，则有：$\frac{m}{d}|\frac{a(x_1-x_0)}{d}$
又证明$gcd(\frac{m}{d},\frac{a}{d})=1$,必然有$\frac{m}{d}|(x_1-x_0).$
综上所述，存在整数$k$,使得：$x_1=x_0+k\frac{m}{d},k=0,1,2...$

由$m$的倍数所得的任何两个不同解被认为是相同的，所以恰好有d个不同的解。当$k=d$时，$x_1$和$x_0$是模$m$同余的，属于同一个解。

裴蜀定理

我们可以使用裴蜀定理，判断一次同余方程是否有解
对于同余方程$a\equiv c(modm)$ (也可写作：$ax+my=c$) 有解的充分必要条件$gcd(a,m)|c$，有解时必然有无穷多个解。

证明
充分性：
记$d=gcd(a,m),a=d{a}_1,m=d{m}_1,c=d{c}_1$其中$a_1$和$m_1$互素。
由定理B 可知，存在$x_1$和$y_1$使得$a_1{x}_1+m_1{y}_1=1.$
令$x=c_1{x}_1,y=c_1{y}_1$,得$a_{1}x+m_{1}y=c_1$，等式两边同乘$d$，得$ax+my=c$.

必要性：
设$x_0$是方程的解，则存在$y$使得$ax+my=c$.
由性质【如果$d|x,d|y$，对任意整数$x,y$，有$d|ax+my$】可得，$d|c$.

EXGCD求解一次同余方程

同余方程$ax+my=c$ 有解的充分必要条件是$gcd(a,m)|c$.
如果同余方程$ax+my=c$有解，
因为$gcd(a,m)|c$.设$x=x^{\prime }\cdot \frac{c}{gcd(a,m)}y=y^{\prime }\cdot \frac{c}{gcd(a,m)}$
$a{x}^{\prime }\cdot \frac{c}{gcd(a,m)}+m{y}^{\prime }\cdot \frac{c}{gcd(a,m)}=gcd(a,m)\cdot \frac{c}{gcd(a,m)}=ax+my=c$

上述的定理A说明$a{x}^{\prime }+m{y}^{\prime }=gcd(a,m)$有解，使用扩展欧几里德求出此方程的解$(x^{\prime },y^{\prime })$，再求出$ax+my=c$的解，也就是：
（$x=x^{\prime }\cdot \frac{c}{gcd(a,m)},y=y^{\prime }\cdot \frac{c}{gcd(a,m)}$）

例：求解同余方程 $18x\equiv 8(mod22).$
解：
求解线性方程$18x+22y=8$
因为$gcd(18,22)=2$，2能整除8，方程有解.

先求解方程$18u+22v=gcd(18,22)=2$，使用扩展欧几里德求出$u=5,v=4$,
又因为：
$18x+22y=8$ ①
$18u+22v=2$ ②
①式是②式的4倍，可求出$x=4\cdot u=20,y=4\cdot v=16.$（$y$的值为多少其实不重要）
所以$x\equiv 20(mod22)$是同余式的一个解。
因为$gcd(18,22)=2$，因此同余式有两个不同余的解，另一个解为$20+\frac{22}{2}=31$，即$x\equiv 31(mod22)$，不过我们一般倾向于用最小的正整数来表示解，上式可表示为$x\equiv 9(mod22)$