数据库系统概论——数据依赖的公理系统

数据库系统概论——数据依赖的公理系统

数据依赖

数据依赖是公理系统的模式分解算法的理论基础

函数依赖

函数依赖的一个有效而完备的公理系统称为Armstrong公理系统，实际上是一套推理规则，是模式分解算法的基础

用途

• 从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖

• 求给定关系模式的码

逻辑蕴含

对于满足一组函数依赖F的关系模式R<U, F>，其任何一个关系r，若函数依赖$ X \rightarrow Y $都成立（即‘‘‘r‘‘‘中任意两元组‘‘‘t,s‘‘‘，若‘‘‘t[X]=s[X]‘‘‘，则‘‘‘t[Y]=s[Y]‘‘‘，则称F逻辑蕴含$ X \rightarrow Y$

Armstrong公理系统

推理规则

设U为属性集总体，F是U的一组函数依赖，对于关系模式R<U, F>，下列推理规则成立

• 自反律

自反律（Reflexivity）指的是若$ Y \subseteq X \subseteq U $，则$ X \rightarrow Y$为F所蕴含

• 增广率

增广律（Augmentation）指的是若$ X \rightarrow Y$为F所蕴含且$ Z \subseteq U$，则$ XZ \rightarrow YZ$为F所蕴含

• 传递率

传递率（Transitivity）指的是若$X\to Y和Y\to Z$为F所蕴含，则$ X \rightarrow Z$为F所蕴含

导出规则

• 合并规则

若$ X \rightarrow Y, X \rightarrow Y$，则$ X \rightarrow YZ$
依据增广律和传递律得到

• 伪传递规则

若$ X \rightarrow Y, WY \rightarrow Z$，则$ XW \rightarrow Z$
依据增广律和传递律得到

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• 分解规则

若$ X \rightarrow Y, Z \subseteq Y$，则$ X \rightarrow Z$
依据分解律和传递律得到

合并规则和分解规则引理

$ X \rightarrow A_1, A_2, … A_K $的充要条件是$ X \rightarrow A_i$(i = 1, 2, …, k)

有效性

有效性指的是从F出发，根据Armstrong公理系统推导出来的每一个函数依赖一定在$F^{+}$中

完备性

完备性指的是$F^{+}$中的每个函数依赖必定可以由从F出发根据Armstrong公理推导出来

闭包

在关系模式R<U, F>中为F所蕴含的函数依赖的全体叫做F的闭包（closure），记为$F^{+}$

X关于函数依赖集的闭包

设F为属性集U上的一组函数依赖，$ X \subseteq U$，$ X_F^+ = {A | X \rightarrow A能由F根据Armstrong公理导出}$，$ X_F^+ $称为属性集X关于函数依赖集F的闭包

关于闭包的引理

设F为属性集U上的一组函数依赖，若$ X, Y \subseteq U$，则$ X \rightarrow Y$能由F根据Armstrong公理导出的充分必要条件是$ Y \subseteq X_F^+$

关于闭包的引理的用途

• 将判定$ X \rightarrow Y$是否由F根据Armstrong公理推导出来的问题转化为求$X_F^{+$，判定Y是否为$X_F}+$子集的问题

• 若$X_F^{+}=U$，则X是R<U, F>的候选码

求解X关于函数依赖集闭包的算法

对于R<U, F>，求属性集X（$X \subseteq $）关于U上的函数依赖集F的闭包$X_F^+$

输入：X，F
输出：$X_F^{+}$

1. 令$X^{(0)}=X,i=0$

2. 求得B
   $B=A|(\exists V)(\exists W)(V\to W\in F\bigwedge V\in X^{(i)}\bigwedge A\in W)$

3. $X^{(i+1)}=B\cup X^{(i)}$

4. 判断$ X^{(i + 1)} = X^{(i)}$

5. 若相等或X^{(i)} = U，X^{(i)}即为$X_F^{+}$，算法终止

6. 否则，$i=i+1$，返回第二步

函数依赖集

函数依赖集等价定义

若$G^{+}=F^{+}$，就说F覆盖G，或F是G的覆盖或G是F的覆盖，或F与G等价

两个函数依赖集等价是指它们的闭包等价

最小依赖集

F为最小依赖集若满足下列条件

• F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性

• F中不存在函数依赖$ X \rightarrow A$，使得$F$与$F - KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: { X - A$}等价，即F中的函数依赖均不能由F中的其他函数依赖导出

• F中不存在函数依赖$ X \rightarrow A$，$X$有真子集$Z$使得$F - KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: { X - A KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 1: }̲\cup$ {$Z \rightarrow A $}与F等价，即F中各函数依赖左部均为最小属性集（不存在冗余属性）

特别地，F的最小依赖集$F_m$不是唯一的，它与对各函数依赖及$X\to A$中各属性的处置顺序有关

最小依赖集求解算法

1. 将F中所有函数依赖的右边（$\to$的右边）化为单一属性

2. 将F中所有函数依赖的左边（$\to$的左边）的冗余属性去掉

3. 将F中所有冗余函数依赖去掉

鸣谢

数据库系统概论（第5版）
数据库系统概念（原书第6版）

最后

• 由于博主水平有限，不免有疏漏之处，欢迎读者随时批评指正，以免造成不必要的误解