Python描述数据结构之森林篇

前言

  本篇章主要介绍森林的基本知识，包括森林的定义、树、森林与二叉树之间的转换、森林的遍历及并查集。

1. 基本定义

  森林 $(forest)$，是由若干棵互不相交的树组成的集合。森林加上一个根结点可以变为树，树去掉根结点就变为了森林。

2. 树、森林与二叉树的转换

  树和二叉树都可以用二叉链表作为存储结构，树的孩子兄弟表示法其实就是一棵二叉树，所以给定一棵树，可以找到唯一的一棵二叉树与之对应。

2.1 树转换为二叉树

  (1) 兄弟结点之间加一条线(红色实线)；
  (2) 每个结点只保留与第一个孩子的连线，与其他孩子的连线去掉(红色虚线)；
  (3) 以根结点为中心，顺时针旋转45°。

  任意一棵与树相对应的二叉树，其右子树必为空。

2.2 森林转换为二叉树

  (1) 将森林中的每棵树转换成相应的二叉树；
  (2) 每棵树的根可以看成兄弟关系；
  (3) 以第一棵树的根为中心，顺时针旋转45°。

2.3 二叉树转换为森林

  (1) 将二叉树的右链断开，根结点及其左子树是森林的第一棵树；
  (2) 将上述断开的右子树作为一棵新的二叉树，然后继续断开其右链，根结点及其左子树是森林的第二棵树；
  (3) 重复上述过程，直至剩一棵没有右子树(结点)的二叉树为止。

2.4 二叉树转换为树

  (1) 将二叉树的根结点作为树的根结点；
  (2) 将根结点的左子树转换成森林；
  (3) 森林中的每棵树都是根结点的子树。

3. 森林的遍历

  根据树和森林相互递归的定义，可以得到森林的两种遍历方法。

3.1 先序遍历

  (1) 访问森林中第一棵树的根结点；
  (2) 先序遍历第一棵树中根结点的子树森林；
  (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。
  2.2小节中图示的森林的先序遍历为 $ABCDEFGHI$。

3.2 中序遍历

  (1) 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林；
  (2) 访问第一棵树的根结点；
  (3) 中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。
  2.2小节中图示的森林的先序遍历为 $BCDAFEHIG$。
  树和森林的遍历与二叉树遍历的对应关系如下表所示：

树	森林	二叉树
先根遍历	先序遍历	先序遍历
后根遍历	中序遍历	中序遍历

4. 树的应用----并查集

  并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不交集 $(Disjoint$ $Sets)$的合并及查询问题，有一个联合 $-$查找算法 $(Union-Find$ $Algorithm)$定义了两个用于此数据结构的操作:

操作	作用
Find(S, x)	查找集合S中单元素x所在的子集合，并返回该子集合的名字
Union(S, Root1, Root2)	把集合S中的子集合Root1和子集合Root2合并(前提是Root1和Root2互不相交)

  由于支持这两种操作，一个不相交集也常被称为联合 $-$查找数据结构 $(Union-Find$ $Data$ $Structure$或合并 $-$查找集合 $(Merge-Find$ $Set)$，又称为 $MFSet$型。
  通常这样约定：以森林 $F=(T_1,T_2,\dots,T_n)$表示 $MFSet$型的集合 $S$，森林中的每一棵树 $T_i(i=1,2.\dots,n)$表示 $S$中的一个元素，即一个子集 $S_i(S_i \subset S,i=1,2,\dots,n)$，树中每个结点表示子集中的一个成员 $x$。为操作方便起见，通常用树的双亲表示法作为并查集的存储结构，并约定根结点的成员兼做子集的名称。
  以集合 $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$为例，用双亲表示法，初始时每个元素都是一个单独的集合，也是单独的一棵树(一个根结点)，所以每个结点的parent域都为-1：

元素	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$parent$	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1

  下面的这三棵树表示三个集合：
$S_1=\{1,0,6,7\},S_2=\{2,4,9\},S_3=\{3,5,8\}$

元素	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$parent$	-1	0	-1	-1	2	3	0	0	3	2

  如果把集合 $S_2$与集合 $S_3$进行合并，那是将 $S_2$合并到 $S_3$上？还是将 $S_3$合并到 $S_2$上呢？这个其实没什么区别(*^▽^*)，因为它们的秩(可以理解为树的深度)一样，只不过合并到哪个集合上，哪个集合的秩就要加1：

元素	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$parent$	-1	0	-1	2	2	3	0	0	3	2

  如果两个集合的秩不一样，该如何合并呢？比如上面新合并得到的两个集合。如果把集合 $S_2$合并到 $S_1$上，查询8号结点属于哪个集合时，需要先查询到3号，然后再查询到2号，最后查询到了属于0号，需要3次查询：

  而如果把集合 $S_1$合并到 $S_2$上，查询8号结点属于哪个集合时，需要先查询到3号，最后查询到了属于2号，只需要2次：

  最后面的这种合并其实就是按秩合并的思想，即如果两个秩不同，将秩小的集合合并到秩大的集合上，这样可以减少查询次数。
  还有一个知识点是路径压缩，就是上述我们在查找8号结点时，它最终的归属是2号，不妨在查询时直接将8号结点的parent改为2，下次再查询时可以直接绕过3号结点便可得到结果。
  代码实现如下：

class TreeNode(object):
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.parent = -1


class DisjointSet(object):
    def __init__(self, data_list):
        self.length = len(data_list)
        self.S = [-1] * self.length
        # # 如果用树结点
        # self.S = []
        # for val in data_list:
        #     self.S.append(TreeNode(val))
        # 按秩合并需要的
        self.Rank = [1] * self.length

    def Find(self, x):
        """
        查找集合S中x所在子集的根
        :param x: [0, length-1]
        :return:
        """
        # while self.S[x].parent != -1:
        #     x = self.S[x].parent

        # # 路径压缩
        # if self.S[x] == -1:
        #     return x
        # else:
        #     self.S[x] = self.Find(self.S[x])
        #     return self.S[x]

        while self.S[x] != -1:
            x = self.S[x]
        return x

    def Union(self, root1, root2):
        """
        root1和root2分别是集合S中两个互不相交的子集的根结点
        合并这两个子集
        :param root1:
        :param root2:
        :return:
        """
        x = self.Find(root1)
        y = self.Find(root2)
        if x == y:
            return False
        # self.S[y].parent = x
        # self.S[y] = x

        # 按秩合并
        if self.Rank[x] > self.Rank[y]:
            self.S[y] = x
        elif self.Rank[x] < self.Rank[y]:
            self.S[x] = y
        else:
            # 谁并入谁都行, 并入到哪里, 哪里的秩就要加1
            self.S[y] = x
            self.Rank[x] += 1

        return True

  测试结果如下：