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线段树的概念引入
线段树的作用
对于区间(或者线段)的修改、维护,从O(N)的时间复杂度变成O(logN)。一个很好的优化型数据结构
线段树的描述
线段树是一种二叉树,我们用这个二叉树去表示一个线段,例如:
线段树的创建
线段树的核心性质:
节点i的权值=她的左儿子权值+她的右儿子权值
线段树的创建代码
tree[i].sum=tree[i\*2].sum+tree[i\*2+1].sum;
inline void build(int i,int l,int r){//递归建树
tree[i].l=l;tree[i].r=r;
if(l==r){//如果这个节点是叶子节点
tree[i].sum=input[l];
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(i*2,l,mid);//分别构造左子树和右子树
build(i*2+1,mid+1,r);
tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;//刚才我们发现的性质return ;
}
简单(无pushdown)的线段树
简单线段树的单点修改操作描述
过程文字描述:
首先确定要改数值在左子树还是右子树,找到后修改数值,然后按原路回溯更新每层父节点数值。
简单线段树的单点修改操作代码
inline void add(int i,int dis,int k){
if(tree[i].l==tree[i].r){//如果是叶子节点,那么说明找到了
tree[i].sum+=k;
return ;
}
if(dis<=tree[i*2].r) add(i*2,dis,k);//在哪往哪跑
else add(i*2+1,dis,k);
tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;//返回更新
return ;
}
简单线段树的区间查询操作描述
过程的文字描述:
然后我们要求13的和,我们先从根节点开始查询,发现她的左儿子12这个区间和答案区间1~3有交集,那么我们跑到左儿子这个区间。
然后,我们发现这个区间12被完全包括在答案区间13这个区间里面,那就把她的值3返回。
我们回到了14区间,发现她的右儿子34区间和答案区间13有交集,那么我们走到34区间
到了34区间,我们发现她并没有完全包含在答案区间13里面,但发现她的左儿子33区间和13区间又交集,那么久走到3~3区间
到了3~3区间,发现其被答案区间完全包含,就返回她的值3一直到最开始
33区间的3+12区间的3=6,我们知道了1~3区间和为6.
我们总结一下,线段树的查询方法:
1、如果这个区间被完全包括在目标区间里面,直接返回这个区间的值
2、如果这个区间的左儿子和目标区间有交集,那么搜索左儿子
3、如果这个区间的右儿子和目标区间有交集,那么搜索右儿子
简单线段树的区间查询操作代码
inline int search(int i,int l,int r){
if(tree[i].l>=l && tree[i].r<=r)//如果这个区间被完全包括在目标区间里面,直接返回这个区间的值
return tree[i].sum;
if(tree[i].r<l || tree[i].l>r) return 0;//如果这个区间和目标区间毫不相干,返回0
int s=0;
if(tree[i*2].r>=l) s+=search(i*2,l,r);//如果这个区间的左儿子和目标区间又交集,那么搜索左儿子
if(tree[i*2+1].l<=r) s+=search(i*2+1,l,r);//如果这个区间的右儿子和目标区间又交集,那么搜索右儿子
return s;
}
简单线段树区间修改查询操作描述
即按区间查找的方法,将沿途全部修改
简单线段树区间修改操作代码
inline void add(int i,int l,int r,int k){
if(tree[i].l>=l && tree[i].r<=r){//如果这个区间被完全包括在目标区间里面,讲这个区间标记k
tree[i].sum+=k;
return ;
}
if(tree[i*2].r>=l)
add(i*2,l,r,k);
if(tree[i*2+1].l<=r)
add(i*2+1,l,r,k);
}
简单线段树单点查询操作描述
默认起始节点为根节点的区间查询,把沿途全部加起来即可
简单线段树单点查询操作描述
void search(int i,int dis){
ans+=tree[i].num;//一路加起来
if(tree[i].l==tree[i].r)
return ;
if(dis<=tree[i*2].r)
search(i*2,dis);
if(dis>=tree[i*2+1].l)
search(i*2+1,dis);
}