CF1340C Nastya and Unexpected Guest（01 BFS）

Description

给定数轴上的 $m$ 个关键点 $\left\{d_{i}\right\}$ ，保证其中包含 $0, n$ 。需要从 $0$ 走到 $n$ 从 $0$ 时刻开始，在接下来的 $g$ 个单位时间内必须不停移动，每个单位时间可以移动一个单位距离。如果你现在在两个关键点之间的线段上，你就只能按照上一步行走的方向继续移动。如果你现在在任意一个关键点上，那么你下一步可以自由选择往左或往右走。当然，你不能移动到 0 的左边或是 $n$ 的右边。

$g$ 个单位时间结束后，你必须恰好在任意一个关键点上, 等待 $r$ 个单位时间再继续移动。接下来, 在 $r$ 个单位时间结束后，重新开始 $g$ 个可以继续移动的单位时间，依此循环。求按照上述规则，从 $0$ 走到 $n$ 的最短时间。如果无法完成，输出 $-1$ 。

$1 \leq n \leq 10^6, 2 \leq m \leq min(n + 1, 10^4), 1 \leq g, r \leq 1000.$

Solution

将 $d$ 从小到大排序，把 $g+r$ 视为一个周期。答案是若干个周期与若干个单位时间之和。在答案的不同周期的同一时间，你都不会在一个相同的点上，否则会构成一个多余的循环。

令 $dis_{i,j}$ 走到 $d_i$ 点，当前周期的绿灯开始了 $i$ 个单位时间，所需的最小周期数。因为绿灯不能驻足，红灯需在安全点上，所以答案中可能从 $d_i$ 走到 $d_{i+1}$ 再走回来。所以要转移相邻的两点。转移考虑的问题有

转移合法，要在绿灯结束前停在关键点上。
走到关键点上，绿灯有没有正好结束，如果结束了那么新增一个周期。

边权只有 $0$ 和 $1$ ，可以 01 BFS。时间复杂度 $O(mg)$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; 
#define mp make_pair
#define pf push_front
#define pb push_back 
#define F first
#define S second
const int N = 1e4 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read() {
	int x = 0, f = 0; char ch = 0;
	while (!isdigit(ch)) f |= ch == '-', ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
int n, m, g, r, d[N], dis[N][1000 + 5];
deque <pair <int, int> >q; 
void update(int x, int t, int nx, int nt) {
	if (nt > g) return ; 
	int _nt = (nt == g ? 0 : nt);
	if (dis[nx][_nt] == -1) {
		dis[nx][_nt] = dis[x][t] + (nt == g);
		if (nt < g) q.pf(mp(nx, _nt));
		else q.pb(mp(nx, _nt));
	}
}
signed main() {
	n = read(), m = read();
	for (int i = 1; i <= m; i++) d[i] = read();
	g = read(), r = read();
	sort(d + 1, d + m + 1);
	memset(dis, -1, sizeof(dis));
	dis[1][0] = 0; q.pf(mp(1, 0)); 
	while (!q.empty()) {
		int x = q.front().F, t = q.front().S;
		q.pop_front();
		if (x > 1) update(x, t, x - 1, t + d[x] - d[x - 1]);
		if (x < m) update(x, t, x + 1, t + d[x + 1] - d[x]);
	}
	ll ans = -1;
	for (int i = 0; i < g; i++) 
		if (dis[m][i] !=- 1) {
			ll t = 1ll * dis[m][i] * (g + r) + i - (!i && dis[m][i]) * r;
			if (ans == -1 || t < ans) ans = t;
		}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}