20ZR暑期联赛班 Day 1

A 染色

给 $1 \sim n$ 染色，使得 $\forall i < j$，如果 $j - i$ 为质数，那么 $i$ 和 $j$ 颜色不同。

找规律。因为相邻的两个数差不为质数，最小的合数是 $4$，所以有 1 1 2 2 3 3 4 4 和 1 2 3 4 1 2 3 4 两个循环。

B 序列

给定一个长为 $m$ 的序列 $a$，构造一个序列 $b$，满足 $b_i \leq n,\sum_{i=1}^m a_ib_i \leq D$。求 $\sum b_i + k \min_{i=1}^m{b_i}$ 的最大值。

先将 $a$ 从小到大排序，那么 $\forall i < j$，有 $b_i \ge b_j$。 $b$ 的构成一定是由 $S$ 个 $n$、一个 $x$、若干个 $min$ 依次构成的。

$ans = S \times n + x + \left\lfloor \frac{D - \sum_{i=1}^S a_i \times n - x \times a_{s+1}}{\sum_{i=S + 2}^m a_i} \right\rfloor \times (k + m - S - 1)$

那么右式在枚举 $S$ 后，唯一的未知数是 $x$，那么可以写成一个 $f(x) = x + a\lfloor\frac{b - x}{c}\rfloor$ 的函数。推理发现这是一个多峰的锯齿函数。那么这个函数的最高峰可能出现

• 第一个波峰。 $min$ 的优先级更高。
• 最后一个波峰。 $min$ 的优先级更高。
• 结束点，没有形成波峰。 $x$ 的优先级更高。

时间复杂度 $O(T \times n \log n)$。

C 树上询问

给定一个 $n$ 个点的树，有 $m$ 个循环。每个询问给定 $u,v$，求存在多少个点对 $(u,u+k)$ 的距离为 $k$。

令 $t = \operatorname{lca} (a,b)$，将路径拆成 $u \to t \to v$，令 $x$ 为 $u + k$，那么点对有两类

• $x$ 在 $u \to t$ 上， $dep_x - x = dep_u$。
• $x$ 在 $t \to v$ 上， $dep_x + x = 2 \times dep_t - dep_u$ 。

可以发现在 $x$ 和 $u,v$ 已知的前提下，两边都是定值。求一条路径中某个数的次数，主席树板子。时间复杂度 $O(m \log n)$。

CF595E Edo and Magnets

只删边界上的点，共有四条边，那么会有 $4k$ 条边有删的可能性。删的点一定是个前缀。所以 $O(k^4)$ 枚举。

CF506D Mr. Kitayuta’s Colorful Graph

再看一下

对于每个颜色新建一个图，没什么好的思路，无非暴力和并查集，空间时间进退两难。不如结合一下，对为某颜色的边的个数进行分类。

如果边数 $\ge \sqrt n$ 那么就并查集，这样的并查集不会建立超过 $\sqrt n$ 个。否则就暴力，时间复杂度不会超过 $O(n\sqrt n)$。这不强制在线，为了建图的空间用 map 离线一下。

时间复杂度 $O(n\sqrt n)$。

CF1139C Edgy Trees

给定一个 $n$ 个点的树，树边为红色或黑色。一个长度为 $k$ 的路径序列是小天才的，当且仅当路径上至少有一条黑边。求序列个数，点可重复。
一条黑边不舒服，就把黑边删掉，相当于求了黑边的补集。那么现在有若棵树，每个树边是红边，对每个联通块点个数的 $k$ 次幂求和即可，找规律 /doge。