2016年408算法大题

已知由n（n>=2）个正整数构成的集合A ，将其划分成两个不相交的子集A1和A2，元素个数分别为n1和n2，A1和A2中元素之和分别为S1和S2。设计一个尽可能高效的划分算法，满足|n1-n2|最小且|S1-S2|最大。要求：

1）给出算法的基本设计思想。

2）根据设计思想，采用C或C++语言描述算法，关键之处给出注释。

3）说明你所设计算法的平均时间复杂度和空间复杂度。

【解析】

（1）根据快速排序的思想，把找到最佳的划分，把最小的[n/2]个数放到A1，其余的数放到A2。分组结果即为题意所求。

算法步骤：

1）若i=[n/2]，则划分结束。

2）若i<[n/2]，则枢轴及之前的所有元素均属于A1，继续对i之后的元素进行划分。

3）若i>[n/2]，则枢轴及之后的所有元素均属于A2，继续对i之前的元素进行划分。

int setPartition(int a[],int n){
    int pivotkey,low=0,low0=0,high=n-1,high0=n-1,flag=1,k=n/2,i;
    int s1=0,s2=0;
    while(flag){
        pivotkey=a[low]; //选择枢轴
        while(low<high){  //基于枢轴对数据记性划分
            while(low<high && a[high]>=pivotkey) --high;
            if(low!=high) a[low]=a[high];
            while(low<high && a[low]<=pivotkey) ++low;
            if(low!=high) a[high]=a[low];
        }
        a[low]=pivotkey;
        if(low==k-1) //若枢轴是第n/2个元素，划分成功
        flag=0；
        else if(low<k-1){
            low0=++low;
            high=high0;
        }else{
            high0=--high;
            low=low0;
        }
    } 
    for(i=0;i<k;i++) s1+=a[i];
    for(i=k;i<n;i++) s2+=a[i];
    return s2-s1;
}

（3）算法的平均时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1).

附：快速排序模板（牢记）

void Quiksort(ElemType A[],int low,int high){
    if(low<high){
        //Partition()是划分操作，将原表划分成2表
        int pivot=Partition(A,low,high);//划分
        QuickSort(A,low,pivot-1);
        QuickSort(A,pivot,high);
    }
}
int Partition(ElemType A[],int low,int high){
    ElemType pivot=A[low];//将当前表中第一个元素设为枢轴，对表进行划分
    while(low<high){  //循环跳出条件
        while(low<high&&A[high]>=pivot) --high;
        A[low]=A[high];//将比枢轴小的元素移动到左端
        while(low<high&&A[low]<=pivot)  ++low;
        A[high]=A[low];//将比数轴大的元素移动到左端
    }
    A[low]=pivot;//枢轴元素存放到最终位置
    return low;//返回存放枢轴的最终位置
}