CDQ 分治多维偏序问题小结

有的时候，后面的值会依赖前面的值。比如 DP 的过程中，要求出后面的 DP 值，我们就需要先求出前面的 DP 值。

这时候就需要用到 cdq 分治。这个分治的思路如下：

题目大意：有 n 个数 a ₁,...,a _n，求最长上升子序列的长度。1≤n≤10 ⁵。

Solution：

设 f[i] 表示以 i 结尾的最长上升子序列的长度。

然后可以用 DP 来求解：f[i]=min_j<i&aj<aif[j]+1

直接做时间复杂度是 O(n²) 的。

考虑优化这个算法。

设当前分治区间是 [l,r]，我们递归求完了 [l,m] 的答案，接下来要处理这一段对 [m+1,r] 的贡献。

把位于 [l,m] 的点看做插入，[m+1,r] 的点看做查询, 然后把整个区间按照 a_i 排序。问题转化为支持插入 f_i 和查询当前所有 f 的最大值。

只需要记录一个前缀最大值就可以了。

时间复杂度：O(n log n)。

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可以不用 cdq 分治。我们先把 ai 离散化，然后开一个树状数组。

只需要实现单点修改和前缀查询最大值。时间复杂度还是 O(n log n)。

题目大意：有 n 个元素，每一个元素有一个 a_i 和 b_i，求两个值都单调的最长上升子序列。1≤n≤10⁵。

Solution：

还是先考虑 n² 算法：f[i]=min_{j<i&aj<ai&bj<bi} f[j]+1

然后 cdq 分治。

我们把 [l,r] 内的元素按照 a_i 排序。接下来问题转化为支持插入一个 b_i 以及询问所有满足 b_j < b_i 的 f_j 的最大值。

用树状数组解决。总时间复杂度 O(n log² n)。

题目大意：现在每一个值有三个属性 a_i,b_i,c_i，还是求最长上升子序列。1≤n≤50000。

先按照 a_i 排序，cdq 分治后分治区间内转化为三维偏序问题。

然后再 cdq 一次，内层用树状数组实现。

时间复杂度：O(n log³ n)

如果我们有 k 个限制，那么 cdq 一次之后就可以去掉其中的一个限制，其中时间复杂度多一个 log。

不过 log⁴ 及以上的复杂度就已经不如 O(n²) 算法快了，所以在实际应用中最多就是 cdq 套 cdq。

绝大多数 cdq 分治的题目都可以转化为 k 维偏序（或者 k 维数点）。