P1117-[NOI2016]优秀的拆分【SA】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P1117

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题目大意

长度为 $n$的字符串，求所有子串有多少种分割成 $AABB$的方式。

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解题思路

$a_i$表示以 $i$结尾的子串中有多少种分割成 $AA$的方式
$b_i$表示以 $i$开头的子串中有多少种分割成 $AA$的方式

然后答案就是 $\sum_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}$

考虑用 $SA$来计算 $a,b$。

枚举长度 $len$，考虑所有长度为 $2*len$的 $AA$串，我们没隔 $len$格放置一个点，那么每个串必定经过了两个点，现在考虑求出相邻两个点之间的贡献

对于相邻两个点 $l,r$，求出它们的 $LCP$和 $LCS$，分情况讨论

1. $LCP+LCS<len:$那么我们可以发现没有任何一个串 $2*len$的 $AA$串同时经过这两个点，因为在 $l$的右边和 $r$的左边，这两个串必定有一个地方不同。
2. $LCP+LCS\geq len:$那么此时有串经过这两个点，且
   $s\geq l-LCP+1,t\leq r+LCP$的串都满足条件

时间复杂度 $:O(n\log n)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int T,n;
long long ans,a[N],b[N];
struct SA{
	char s[N];
	int m,sa[N],rk[N],height[N],lg[N];
	int c[N],x[N],y[N],st[N][25];
	void Qsort(){
		for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) c[x[i]]++;
		for(int i=1;i<=m;i++) c[i]+=c[i-1];
		for(int i=n;i>=1;i--) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;
		return;
	}
	void Get_SA(){
		m=256;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			x[i]=s[i],y[i]=i;
		Qsort();
		for(int w=1;w<=n;w<<=1){
			int p=0;
			for(int i=n-w+1;i<=n;i++) y[++p]=i;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				if(sa[i]>w) y[++p]=sa[i]-w;
			Qsort();swap(x,y);x[sa[1]]=p=1;
			for(int i=2;i<=n;i++)
			x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+w]==y[sa[i-1]+w])?p:++p;
			if(p==n) break;m=p;
		}
		return;
	}
	void Get_Height(){
		int k=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)rk[sa[i]]=i;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(rk[i]==1) continue;
			if(k)k--;int j=sa[rk[i]-1];
			while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[i+k]==s[j+k]) k++;
			height[rk[i]]=k;
		}
		return;
	}
	void Get_ST(){
		lg[0]=-1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			lg[i]=lg[i>>1]+1,st[i][0]=height[i];
		for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
			for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
				st[i][j]=min(st[i+(1<<(j-1))][j-1],st[i][j-1]);
		return;
	}
	void Build(){
		memset(rk,0,sizeof(rk));
		memset(st,0,sizeof(st));
		memset(height,0,sizeof(height));
		memset(sa,0,sizeof(sa));
		memset(x,0,sizeof(x));
		memset(y,0,sizeof(y));
		Get_SA();
		Get_Height();
		Get_ST();
		return;
	}
	int LCP(int l,int r){
		l=rk[l];r=rk[r];
		if(l>r) swap(l,r);l++;
		int z=lg[r-l+1];
		return min(st[l][z],st[r+1-(1<<z)][z]);
	}
}s1,s2;
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(b,0,sizeof(b));
		scanf("%s",s1.s+1);
		n=strlen(s1.s+1);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			s2.s[n-i+1]=s1.s[i];
		s1.Build();s2.Build();
		for(int len=1;len<=n/2;len++){
			for(int i=len;i<=n;i+=len){
				int l=i,r=i+len;
				int L=n-r+2,R=n-l+2;
				int lcp=min(len,s1.LCP(l,r));
				int lcs=min(len-1,s2.LCP(L,R));
				if(lcp+lcs>=len){
					b[l-lcs]++;b[l+lcp-len+1]--;
					a[r+lcp]--;a[r-lcs+len-1]++;
				}
			}
		}
		ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			a[i]+=a[i-1],b[i]+=b[i-1];
			ans+=a[i-1]*b[i];
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}