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题目大意
给定一个 \(n\) 个点 \(m\)条边无向图，每条边有边权0/1。有两种操作：
- 取一个简单环，将环上的所有边边权取反。
- 将图分成两个点集，将跨越两个点集的边边权取反。
求是否可能经过 \(m+1\) 次，将所有边权变成0。\(n\leq 100\)。
题解
先不管次数限制。考虑这种情况下二操作可以等价于先选取若干个点，将这些点连出的边取反。
由于取反这个操作与顺序无关，所以我们考虑先进行2操作再进行1操作。
考虑什么时候1操作可以将一个图的所有边权变成0。可以发现，这本质时用若干个环经过边权为1的边奇数遍，0的边偶数遍。
显然这当且仅当所有点相连的边权为1的边为偶数条。
我们考虑边权比较难处理，将其化成点权，即每个点的点权是所有相连的边的边权的异或和。
可以发现，1操作成立当且仅当所有点点权为0。
我们再考虑将2操作转换成点权：对某个点操作，相当于将其相邻的点的点权取反。
特别的，如果一个点入度为奇数，它也会把自己的点权取反。
这样题目就变成了：有一个长度为 \(n\) 的01序列，有 \(m\) 种操作，第 \(i\) 种操作可以把集合 \(S_i\) 中的元素取反。问是否可以把序列变成0。
显然这就是线性基裸题了。直接将序列看成 \(n\) 位的二进制数即可。
最后考虑一个问题：怎么保证可以在 \(m+1\) 步内完成。下面给出一种构造：
首先如果一条边两边的点都进行了操作2，其实这条边没有影响。
所以我们将需要进行操作的点放在一个集合里，其他点放在另一个集合里，进行一次操作2。因为完全在某个集合内的边不会受到影响，所以这样等同于做很多此操作2。
再考虑操作1。可以贪心每次取最大的全是1的环。因为取完后每个点的点权是不变的，所以这样一定是可行的。显然这个操作数一定不大于 \(m\)。
所以最后总操作数不大于 \(m+1\)。
时间复杂度 \(O(\frac {n^3} \omega)\)。