CF1311F - Moving Points

题意

$N$ 个点，全部都在 $X$ 轴上，每一个点有给出起始点 $x_i$ 和速度 $v_i$ ，如果现在过去时间为 $t$ ，那么这个点就在 $x_i+tv_i$ ，这里时间是无穷无尽的
现在有 $d(i,j)$ 表示点 $i$ 和点 $j$ 在所有时间内最小的距离
求所有点对的 $d(i,j)$ 之和，即 $\displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq N} d(i,j)$

题解

这题没有很难，比较简单
因为时间是无穷无尽的，所以任意两个点 $i,j$ 的关系只有三种情况
令 $x_j<x_i$

①不断靠近，最后相交然后远离

显然，因为相交了， $d(i,j)=0$

同向运动，后面的点速度快，即 $v_j>v_i$
反向运动，前面的点向右 $v_i<0$ ，后面的点向左 $v_j>0$ ，即 $v_j>v_i$
所以这两个都是 $v_j>v_i$

②不断远离

那么初始位置就是最小值，即 $d(i,j)=x_i-x_j$

同向运动，后面的慢，前面的快，即 $v_j<v_i$
反向运动，后面的点向左 $v_j<0$ ，前面的点向右 $v_i>0$ ，即 $v_j<v_i$
所以这两个都是 $v_j<v_i$

③距离保持不变

这种和②一样， $d(i,j)=x_i-x_j$
这个就是 $v_j=v_i$ 的情况

那么我们要求的 $\sum d(i,j)$ 里面，①是没有贡献的，只有②和③有贡献，还都是 $d(i,j)=x_i-x_j$
对于一个点 $i$ ，我们要找初始距离比他小的里面，速度小于等于他的点
那么我们先按初始距离 $x_i$ 排序，这样就是找前面的 $v_j\leq v_i$ 的点 $j$ 即可
那么就用树状数组维护两个值，一个是数量 $cnt$ ，一个是 $x_i$ 的和 $sum$
这样当前点 $i$ 的贡献就是， $cnt*x_i-sum$
还有速度范围 $-10^8\leq v \leq 10^8$ ，所以离散化一下

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
const int MAX = 2e5 + 10;

int N;

int b[MAX], tot;
int pos(int x) { return lower_bound(b + 1, b + 1 + tot, x) - b; }

pll c[MAX];
void update(int p, ll k) { for (; p <= tot; p += lowbit(p)) c[p].first += 1, c[p].second += k; }
pll query(int p) {
    pll res = make_pair(0, 0);
    for (; p; p -= lowbit(p)) res.first += c[p].first, res.second += c[p].second;
    return res;
}

struct Node {
    ll x, v;
    bool operator < (const Node &rhs) const {
        return x < rhs.x;
    }
} a[MAX];

int main() {
    //按x排序
    //查v[j] <= v[i]的cnt及sum
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%lld", &a[i].x);
    for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%lld", &a[i].v), b[++tot] = a[i].v;//速度离散化一下
    sort(a + 1, a + 1 + N);
    sort(b + 1, b + 1 + tot);
    tot = unique(b + 1, b + 1 + tot) - (b + 1);
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        pll t = query(pos(a[i].v));//查找小于等于当前速度的cnt和sum
        ans += t.first * a[i].x - t.second;//答案加上贡献
        update(pos(a[i].v), a[i].x);//再将当前点放入树状数组
    }
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}