[Codeforces1301E]Nanosoft

题意

给你一个 $n\times m$的只包含四种颜色的网格。

$q$此询问，每次问一个矩阵中所包含的形如以下格式的 $Logo$的最大面积

$1\le n,m\le500,1\le q\le3\cdot10^5$

题解

$1.$如何确定包含某个点的最大纯色正方形?

只考虑以点 $(i,j)$为右下角的颜色为 $p$的最大正方形的边长,设其为 $L_{p,i,j}$.

则有:
$L_{p,i,j}=\left\{ \begin{aligned} & 0 & , color_{i,j}\neq p\\ & \min\{L_{p,i-1,j},L_{p,i,j-1},L_{p,i-1,j-1}\}+1 & , color_{i,j}=p \end{aligned}\right.$

$2.$如何确定包含某个点的最大的 $Logo$?

考虑红色方块的右下角 $(i,j)$,则边长为 $2k$的 $Logo$合法的充要条件为:

$L_{R,i,j}\ge k{\rm\ and\ }L_{G,i,j+k}\ge k{\rm\ and\ }L_{B,i+k,j+k}\ge k{\rm\ and\ }L_{Y,i+k,j}\ge k$

当存在这样的 $i,j,k$满足上述条件时,记 $S_{k,i,j}=1$.

$3.$如何确定某个矩阵内的最大 $Logo$?

先考虑如何判定边长为 $2k$的 $Logo$是否存在.

因为所记录的 $(i,j)$为红色方块的右下角,故可以确定 $(i,j)$的选点范围为子矩阵 $:$

$r_1-k+1\le i\le r_2-k,c_1-k+1\le j\le c_2-k$

如果存在这样的 $Logo$,也就是子矩阵中存在 $S_{k,i,j}=1$,也就是子矩阵内 $\sum S_{k,i,j}>0$.

可以发现 $k$的有单调性的,故可以通过二分找到最大的 $k$.

$4.$考虑另外一种思路

在第二步时记满足条件式的最大的 $k$为 $f_{i,j}$.

那么在第三步时的判定条件将变为 $:$子矩阵中 $\max f_{i,j}\ge k$.

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总结下来题目体质就是求矩阵和或矩阵最大值.

具体方法为:

$a)$预处理前缀和,差分,时间复杂度 $O(n^3+q\log n)$,空间复杂度 $O(n^3)$.

inline void Prepare(){
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            for(k=min(min(i,n-i),min(j,m-j));k>=1;--k){
                S[k][i][j]=S[k][i-1][j]+S[k][i][j-1]-S[k][i-1][j-1];
                if(L[0][i][j]>=k&&L[1][i][j+k]>=k&&L[2][i+k][j+k]>=k&&L[3][i+k][j]>=k){
                    for(int l=k;l>=1;--l)
                        S[l][i][j]=S[l][i-1][j]+S[l][i][j-1]-S[l][i-1][j-1]+1;
                    break;
                }
            }
}
inline bool Qry(int x1,int y1,int x2,int y2,int k){
    return S[k][x2][y2]-S[k][x1-1][y2]-S[k][x2][y1-1]+S[k][x1-1][y1-1];
}

$b)$二维 $ST$表,时间复杂度 $O(n^3+q\log n)$,空间复杂度 $O(n^2\log^2n)$.

inline void Prepare(){
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            for(k=min(min(i,n-i),min(j,m-j));k>=1;--k)
                if(L[0][i][j]>=k&&L[1][i][j+k]>=k&&L[2][i+k][j+k]>=k&&L[3][i+k][j]>=k){
                    f[0][0][i][j]=k;break;
                }
    for(int k=0;k<=Log[n];++k)
        fp(int l=0;l<=Log[m];++l)
            if(k||l)
                for(int i=1;i+(1<<k)-1<=n;++i)
                    for(int j=1;j+(1<<l)-1<=n;++j)
                        f[k][l][i][j]=l?max(f[k][l-1][i][j],f[k][l-1][i][j+(1<<(l-1))]):
                            max(f[k-1][l][i][j],f[k-1][l][i+(1<<(k-1))][j]);
}
inline bool Qry(int x1,int y1,int x2,int y2,int k){
    int Lx=Log[x2-x1+1],Ly=Log[y2-y1+1];
    return k<=max(max(f[Lx][Ly][x1][y1],f[Lx][Ly][x2-(1<<Lx)+1][y2-(1<<Ly)+1]),
            max(f[Lx][Ly][x2-(1<<Lx)+1][y1],f[Lx][Ly][x1][y2-(1<<Ly)+1]));
}

注意:参照点不止右下角一种选法,参照点选取的不同方案只影响子矩阵的范围和判定合法所选取的 $L_{p,x,y}$.