[NowCoder5666F]Infinite String Comparision

题意

对于字符串 $s$，定义 $s^{\infty}=sss...$

给定字符串 $s,t$，判断 $s^{\infty}$和 $t^{\infty}$的字典序大小关系。

$|S|\le10^5$

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题解

类比 $10$进制中无限循环小数，如 $\displaystyle0.233233...=\frac{233}{999}=\frac{233}{10^3-1}$

把字符串当做 $26$进制数，将串 $s$化为无限循环“小数”： $\displaystyle\frac{s}{26^{|s|}-1}$
则有
$s^{\infty}>t^{\infty}\Leftrightarrow\frac{s}{26^{|s|}-1}>\frac{t}{26^{|t|}-1}\Leftrightarrow s\cdot26^{|t|}+t>t\cdot26^{|s|}+s\Leftrightarrow\overline{st}>\overline{ts}$
另外两种情况同理。

单组数据时间复杂度 $O(|S|)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s, t;
int main() {
    while (cin >> s >> t)
        if (s + t < t + s)
            puts("<");
        else if (s + t > t + s)
            puts(">");
        else
            puts("=");
    return 0;
}

拓展：Periodicity Lemma：两个串 $s,t$，若 $s^{\infty}$和 $t^{\infty}$的前 $|s|+|t|-\gcd(|s|,|t|)$位都相同，则 $s^{\infty}=t^{\infty}$。