你一定要了解的数据结构-并查集

今天要介绍一种非常重要的数据结构-并查集，这种数据结构常常被用于检测有环图的问题。

问题引入

给定一些节点，我们想要确定这些节点哪些属于同一个子集，该怎么做？现在假定这些节点之间通过边来连接，我们尝试用图片来表示一下。

我们可以看到一共有6个节点，其中0、1、2、3这几个节点之间是连通的，4和5也是连通的。所以我们可以把上面6个节点分为两个集合，集合1包含0、1、2、3共4个节点，集合2包含4和5两个节点。

通过图片表示很直观，但是，我们如何用代码实现呢？

思路分析

由上面的内容我们很容易知道，两个节点如果属于同一集合就能够找到一条路径连通这两个节点，但是怎么才能找到这条路径呢？我们需要对这些节点进行等级划分，每个节点只需要记住自己的上级节点即可，这样的话两个节点分别向上查找，一直找到顶层的节点，如果顶层节点相同，我们就判定这两个节点属于同一子集，否则不是同一子集。等等，这不就是树吗？说的没错，维基百科中这样定义并查集：在计算机科学中，并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不交集（Disjoint Sets）的合并及查询问题。怎么样，是不是感觉并查集的设计思路很精妙。

我们来思考一下并查集的代码怎么写，首先咱们需要设置一个parent数组用来存储上级节点，初始时数组中的所有值均为-1，表示没有上级节点，我们先来写一下这个方法。

private void init(int[] parent) {
	for (int i = 0; i < VERTICES; ++i) {
		parent[i] = -1;
	}
}

下一个问题，怎么寻找根节点？咱们看一下刚刚那个parent数组是怎么用的。前面我们说过节点之间用边来相连，parent数组用来存储上级节点的下标。如下图所示，2和3的上级节点是1，1的上级节点是0，0是根节点。同理，5的上级节点是4，4也是根节点，所以一共有两个集合。

很容易发现，当parent存储的值为-1时表示这个节点就是根节点，我们用代码实现一下寻找根节点的算法。

private int findRoot(int[] parent, int x) {
	int x_root = x;
	while (parent[x_root] != -1) {
		x_root = parent[x_root];
	}
	return x_root;
}

上面说到寻找根节点的方法，下面咱们谈谈节点之间的边是怎么构建的。还是上面那幅图，我们现在要把上面的两个集合合并为一个集合该怎么做？很简单，把其中一个根节点的父节点设置为另一个根节点，比如像下面这样，把4的父节点设置为0。

在下面的代码实现中，如果两个要构建边的节点在同一集合中就返回false，且不会建立这条边，如果不是在同一集合中就返回true，然后它们就成了同一集合。

//返回true则合并成功，返回false则合并失败
private boolean unionVertices(int[] parent, int x, int y) {
	int x_root = findRoot(parent, x);
	int y_root = findRoot(parent, y);
	if (x_root == y_root) {
		return false;
	} else {
		parent[y_root] = x_root;
		return true;
	}
}

咱们看一下完整的代码实现。

public class DisjointSets {
	
	private int VERTICES = 6;
	
	private void init(int[] parent) {
		for (int i = 0; i < VERTICES; ++i) {
			parent[i] = -1;
		}
	}
	
	private int findRoot(int[] parent, int x) {
		int x_root = x;
		while (parent[x_root] != -1) {
			x_root = parent[x_root];
		}
		return x_root;
	}
	
	//返回true则合并成功，返回false则合并失败
	private boolean unionVertices(int[] parent, int x, int y) {
		int x_root = findRoot(parent, x);
		int y_root = findRoot(parent, y);
		if (x_root == y_root) {
			return false;
		} else {
			parent[y_root] = x_root;
			return true;
		}
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		DisjointSets d = new DisjointSets();
		int[] parent = new int[d.VERTICES];
		int[] rank = new int[d.VERTICES];
		int[][] edges = {{0, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {3, 4}, {2, 5}, {0, 2}};
		d.init(parent);
		for (int i = 0; i < edges.length; ++i) {
			int x = edges[i][0];
			int y = edges[i][1];
			if (!d.unionVertices(parent, x, y)) {
				System.out.println("Cycle detected!");
				return;
			}
		}
		System.out.println("No cycles found!");
	}
}

优化分析

下面请大家考虑一个问题，假设我们有10000个点，边连接是{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}...以此类推，那么用上面的算法我们将得到一条长长的链，也就是每次寻找根节点的时间复杂度为 $O(n)$，这时候我们就需要对算法进行优化了。

我们来思考一下，当两棵树的高度不同时，应该怎么进行合并呢？还是最上面两棵树的合并，咱们看一下下面两种合并方式。

大家觉得第一种和第二种哪个更好？显然第一种优于第二种，因为第一种是将高度较小的树合并到高度较大的树上的，这样合并后的树的高度仍然是原来较大的树的高度，而相反树的高度则会变大。简单地说，如果使用第二种方式进行合并则会导致高度越来越大。

进行算法优化时，我们需要设置另一个数组rank，然后用这个数组来储存当前节点高度。实际需要修改的代码只有init和unionVertices两个方法，将原始的高度都设置为0，还有就是需要判断两棵树的高度并进行比较。贴一下优化之后的代码供大家与之前的代码进行比较。

public class DisjointSets {
	
	private int VERTICES = 6;
	
	private void init(int[] parent, int[] rank) {
		for (int i = 0; i < VERTICES; ++i) {
			parent[i] = -1;
			rank[i] = 0;
		}
	}
	
	private int findRoot(int[] parent, int x) {
		int x_root = x;
		while (parent[x_root] != -1) {
			x_root = parent[x_root];
		}
		return x_root;
	}
	
	//返回true则合并成功，返回false则合并失败
	private boolean unionVertices(int[] parent, int[] rank, int x, int y) {
		int x_root = findRoot(parent, x);
		int y_root = findRoot(parent, y);
		if (x_root == y_root) {
			return false;
		} else {
			if (rank[x_root] > rank[y_root]) {
				parent[y_root] = x_root;
			} else if (rank[x_root] < rank[y_root]) {
				parent[x_root] = y_root;
			} else {
				parent[x_root] = y_root;
				rank[y_root]++;
			}
			return true;
		}
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		DisjointSets d = new DisjointSets();
		int[] parent = new int[d.VERTICES];
		int[] rank = new int[d.VERTICES];
		int[][] edges = {{0, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {3, 4}, {2, 5}, {0, 2}};
		d.init(parent, rank);
		for (int i = 0; i < edges.length; ++i) {
			int x = edges[i][0];
			int y = edges[i][1];
			if (!d.unionVertices(parent, rank, x, y)) {
				System.out.println("Cycle detected!");
				return;
			}
		}
		System.out.println("No cycles found!");
	}
}

以上是本文的全部内容，并查集的算法需要仔细研究，在leetcode中会出现一些并查集相关的问题，能够掌握相关的知识并灵活运行就能迎刃而解。