数学建模之十分钟学会LINGO（附建模实战）

Lingo 基本界面

1. 打开lingo后会弹出一个对话框，点击 Cancel 左边的 Never Register 即可，其余内容用不到。
2. 界面自动弹出名为“Lingo Model – Lingo 1”的窗口，用于书写代码。
3. 以解方程的题目： $x+1=2$为例，写完代码后，点击“红色的靶心”运行程序。
4. 首先 Lingo 会弹出一个名为“Solver Status”的对话框，它显示运行时间等信息。读取到运行时间是 0 时 0 分 0 秒，充分证明了 Lingo 的强大之处。

5. 然后，弹出一个名为“Solution Report”的界面。
6. 由此可知变量 x 的数值为 1。

7. 如果是求解线性规划的话，目标值也会在“Solution Report”中给出，到时再说。

用 Lingo 解方程

① 每个方程必须以分号“;”结束。
② 请注意：Lingo 的所有符号都是英文格式下的符号。
③ Lingo 的加减乘除分别是： $+ - * /$。
【特别注意】
（1） $2*x$ 在 Lingo 中不可以简写为 $2x$ ，乘号不能省略。
（2） 注意除号“/”的形状

【例题】求解方程组
$2*x+2*y+1=5\\ 3*x-5*y+5=3$
【易错点】
① 不写结尾的分号。
② 不写乘号。

Lingo 变量

• Lingo 默认所有变量为大于等于 0 的数字，因而非负的条件不必多写。
• 万一遇到一个变量可以小于 0，后面会讲到一个函数叫做@free，来使其定义域为 R。
• m 和 M 等价，Lingo 不区分大小写，所以 mmm、mMm、MMM 被视作同一个变量。
• 无论是 C、Matlab 还是 Lingo，变量均由字母数字下划线组成，且字母在首位。

【例题】求解方程组：
$X^2+y^2+2*x=103\\ 2*x+y=12\\ x>0\\ y>5$

线性规划基础

① 一个线性规划中只含一个目标函数。（两个以上是多目标线性规划，Lingo 无法直接解）
② 求目标函数的最大值或最小值分别用 max = …或 min = …来表示。
③ 以 ！开头，以 ；结束的语句是注释语句；
④ 线性规划和非线性规划的本质区别是目标函数是否线性，其余一致，故不需要区分。
但值得注意的是，非线性规划的求解十分困难，基本得不到全局最优解。

矩阵工厂

矩阵工厂：生产一维矩阵

先来看看例子，当然不必在意其中的空格（Lingo 不读取空格）：

sets:
factory /1..6/ : a,b;
plant /1..3/ : x,y;
endsets

以上程序对应知识点：
① factory 和 plant 都是制造矩阵的工厂，但它们是两家不同的工厂。
② factory 工厂后面的 /1…6/ 说明它专门生产 $1*6$ 的矩阵。
factory 工厂最后面出现的 a 和 b，都是 $1*6$的矩阵。
③ plant 工厂后面的 /1…3/ 说明它专门生产 $1*3$ 的矩阵。
plant 工厂最后面出现的 x 和 y，都是 的矩阵。
④ 矩阵工厂的名字 factory 是随便起的，工厂所生产行矩阵的名字 a 和 b 也是随便起的。
⑤ 以上这四句话，本质是定义了四个行矩阵的大小，矩阵工厂只是中介。
⑥ 生产完矩阵后，工厂和矩阵之间将脱开联系。
⑦ Lingo 不是一行一行读代码的，所以用 sets:和 endsets 表示矩阵工厂生产流程的起止。

【例 】阅读以下 Lingo 代码，请问 a 和 b 两个矩阵有联系吗？

sets:
nanfu /1..6/ : a,b;
endsets

没有特殊联系，只是 a 和 b 都是一行六列的矩阵。

【例 】阅读以下 Lingo 代码，请问代码可否简洁一点？

sets:
ctgu /1..6/ : a;
mcm /1..6/ : b;
endsets

a,b可以合并

sets:
easy /1..6/ : a, b;
endsets

【例 3】阅读以下 Lingo 代码，请问有何问题？

sets:
ceshi /1..6/ : apple, Apple;
endsets

Lingo 不区分大小写，所以 apple 和 Apple 是同一个矩阵，应该换个名字。

矩阵的赋值

矩阵工厂不能只生产矩阵，还要给矩阵赋初值才行，例子如下：

sets:
factory /1..6/ : a,b;
plant /1..3/ : c,x;
endsets
data:
a = 1, 2, 3, 4, 5, 6;
b = 6.0, 5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0;
c = 10, 20, 30;
enddata

以上程序对应以下知识点：
① 不是每个矩阵都要赋值，有些矩阵正是我们要求解的变量。
② 需要赋值的矩阵必须赋满，不能给 6 个元素的矩阵只赋 3 个数值。
③ Lingo 中可以给矩阵赋整数，也可以赋小数。
④ Lingo 不是一行一行读代码的，所以用 data:和 enddata 表示矩阵赋值的起止。

循环与求和

【for 循环】
题中约束条件： $S=a_ix_i,i=1,2,...5$ 可以利用 for 循环一步到位。

 @for( gc(i) : a(i)*x(i) = S );

① for 循环，括起整行语句，因为 $S=a_ix_i,i=1,2,...5$ 相当于 5 个约束条件：
$S=a_1x_1\\ .\\.\\.\\ S=a_5x_5$
② for 循环内部，先写工厂，以告诉 for 循环几次，之后再上接约束条件。
③ 此处的 i 可带可不带，甚至可以换成 j、k 或 m 等等。
④ 二维矩阵工厂出现后，同时会出现 i 和 j，那时必须带 i 和 j。

【sum 求和】
题中约束条件： $\sum_{i=1}^{5}=5000$可以利用 sum 求和一步到位。

 @sum( gc(i) : x(i) ) = 5000;

① sum 求和，不可以括起完整的约束条件，因为一般的求和的结构是这样的： $x_1+...+x_5=5000$
② sum 求和内部，先写工厂，以告诉 sum 求和几次，之后再上接约束条件。
③ 此处的 i 可带可不带。
④ 二维矩阵工厂出现后，同时会出现 i 和 j，那时必须带。

【for 与 sum 出现的标志】
① 约束条件后面有 $i=1,2,..5$，一定在最外层套上 for。
② 约束条件前面是 $\sum_{i=1}^{5}$ ，一定在中间加sum

程序自己打一遍才会理解

model:
sets:
gc /1..5/ : a,x;
endsets
data:
a = 1,2,3,4,5;
enddata
max = S;
@for( gc(i) : a(i)*x(i) = S );
@sum( gc(i) : x(i) ) = 5000;
end

工厂合并

工厂合并——生产二维矩阵

先来看看例子：

sets:
factory /1..6/ : a;
plant /1..8/ : d;
Cooperation(factory,plant) : c, x;
endsets

以上程序可以得到以下结论：
① Cooperation 大工厂是由 factory 和 plant 两家小工厂合并而办，可生产 6x8的矩阵。
② a 是1x6 的矩阵，d 是1x8 的矩阵，c 和 x 都是4x8 的矩阵。
③ 如果将 Cooperation(factory,plant)中的 factory 与 plant 调换位置，则生产 8x6的矩阵。
④ 工厂合并的名字 Cooperation 是随便起的，矩阵的名字 c 和 x 也是随便起的。

矩阵的赋值

data:
c=6,2,6,7,4,2,5,8
 4,9,5,3,8,5,8,2
 5,2,1,9,7,4,3,3
 7,6,7,3,9,2,7,1
 2,3,9,5,7,2,6,5
 5,5,2,2,8,1,4,3;
enddata

model:
sets:
factory /1..6/ : a;
plant /1..8/ : d;
Cooperation(factory,plant) : c, x;
endsets
data:
a=60,55,51,43,41,52;
d=35,37,22,32,41,32,43,38;
c=6,2,6,7,4,2,5,8
 4,9,5,3,8,5,8,2
 5,2,1,9,7,4,3,3
 7,6,7,3,9,2,7,1
 2,3,9,5,7,2,6,5
 5,5,2,2,8,1,4,3;
enddata
min = @sum( Cooperation(i,j) : c(i,j)*x(i,j) );
@for( factory(i): @sum(plant(j):x(i,j)) <= a(i) );
@for( plant(j): @sum(factory(i):x(i,j)) = d(j) );
end

本篇博客主要参考与[B站爆肝杰哥](https://space.bilibili.com/358229576?spm_id_from=333.788.b_765f7570696e666f.2)
弄懂上面那个例题建模题基本就差不多了，但我们的最终目的还是建模应用，这里没有具体的讲解求解窗口各个值的含义，具体线性规划建模实战可以看这里