大数相乘的快速乘技巧

数论 大数相乘的快速乘技巧

1.1 问题

快速乘常用于解决如下问题:long long 与 long long 相乘，对long long 取模。显而易见，结果有可能不在long long 范围内，可能会溢出。因此，我们需要一种对该问题的有效解决方法

2.1 __int128

玄学数据类型，联赛是肯定不能使用的，所以，弃疗(≧∇≦)ﾉ

2.2 龟速乘

快速幂的思路在于二进制优化一下乘法的过程，实现快速求幂；龟速乘的思路很接近，利用二进制优化一下加法的过程，实现龟速乘法。long long 相加总不会爆long long 吧<(￣ c￣)y▂ξ

ll qsc(ll a,ll b,ll m){
	ll ans=0,base=a,mod=m;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ans+base)%mod;
		base=(base+base)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

2.3 神奇小技巧

\[ull \Rightarrow unsigned long long \quad \quad \quad ld\Rightarrow long double \]

ll qsc(ll a,ll b,ll m){
    return ((ull)a*b-(ull)((ld)a/m*b*b))%m;
}

实际上就是把取模的过程分解了一下

\[a\times b \mod p\equiv a\times b -\lfloor \frac {a\times b}{p}\rfloor \times p \mod p \]

用一下long double处理一下分数，然后再利用unsigned long long 对\(2^{64}\)智能溢出，实现了这个O(1)快速乘。虽然看上去不靠谱，但实际实验一下发现还的确是有正确性的。