笔记：宾大《Algebra, Topology, Differential Calculus, and Optimization Theory For CS and ML》——第三章第八节

3.8 商空间（Quotient Spaces）

我们令 $E$ 为向量空间，并令 $M$ 为其任意一个子空间。在子空间 $M$ 上我们定义一个关系 $\equiv_M$ ，其定义如下：

对于任意的 $u,v \in E$ ，有
$u \equiv_M v$
当且仅当 $u-v \in M$。

基于上面的关系，我们有一下的性质：

命题3.19 对于给定的向量空间 $E$，并令 $M$ 为其任意一个子空间，关系 $\equiv_M$ 具有下面两个同余性质的等价关系。

1. 如果有 $u_1 \equiv_M v_1$ 和 $u_2 \equiv_M v_2$ ，那么 $u_1 +u_2\equiv_M v_1+v_2$ ；
2. 如果 $u \equiv_M v$ ，那么 $\lambda u \equiv_M \lambda v$；

由子集的加法和标量的乘法可以证明上面的结论，同时也就表明我们可以在上面集合所定义的关系中定义加法和标量乘法。

定义3.25 对于给定的向量空间 $E$，并令 $M$ 为其任意一个子空间，我们在集合 $E/M$ 的关系 $\equiv_M$ 下定义加法和标量乘法操作：对于两个等价类 $[u],[v] \in E/M$ ，我们有
$[u]+[v]=[u+v]\\ \lambda[u]=[\lambda u]$
在上面的命题3.19中，我们的上述操作并不依赖于等价类 $[u],[v] \in E/M$ ，同时我们也可以证明 $E/M$ 是一个向量空间，函数 $\pi:E \rarr E/F$ 我们将其定义为对于每一个 $u \in E$ 都有 $\pi(u) =[u]$，即一个满射的线性映射，我们称为 $E$ 向 $E/F$ 空间的一个自然投影 (natural projection)。向量空间 $E/M$ 也被称为在子空间 $M$ 中的 $E$ 的商空间（Quotient Space）

对于一个线性映射 $f:E \rarr F$ ，我们定义 $Ker f$ 为 $E$ 的子空间。所以根据上面的知识， $Imf$ 和商空间 $E/Kerf$ 同构。

预告

3.9 线性形式和对偶空间