贪心和动态规划总结

贪心法:

  • 最优子结构:对比,不是进行各种可选支路的试探,而是当下就可用每种策略确定选择,无需考虑未来(未来情况的演变也影响不了当下的选择)。
  • 只要一直这么选下去,就能得出最终的解,每一步都是当下(子问题)的最优解,结果是原问题的最优解,这叫最优子结构。
  • 更书面的说法是:如果问题的一个最优解中包含了子问题的最优解,则该问题具有最优子结构。
  • 贪心与DFS:具备这类结构的问题,可以用局部最优解来推导全局最优解,可以认为是一种剪枝法,是对“DFS遍历法”的优化。

贪心的难点在于:怎么保证当前的走法是最优的子结构,其他的走法都不会比当前更优。也就是说要确保当前的剪枝是正确的。

贪心的特点在于局部解最优不能保证整体解一定是最优。所以使用贪心法时要注意这样得出的结果是不是整体最优的。是否符合题目的要求。如果不是最优的就不能使用贪心法。

经典贪心问题如下:

  1. 区间调度问题(不相交区间和区间选点)
  2. 最小字典序问题


动态规划:

动态规划的两个条件:

  • 最优子结构
  • 无后效性:当前状态是前面状态的完美总结。

解题一般过程:

  • 找到过程演变中变化的量(状态),确定是以为还是二维,以及变化的规律(状态转移方程)
  • 确定一些初始化状态,通常需要dp数组来保存。
  • 利用状态转移方程,推出最终答案。

经典动态规划问题如下:

  1. 01背包问题
  2. 钢条切割问题
  3. 数字三角形求最大路径和
  4. 最大公共子序列
  5. 完全背包问题
  6. 最长子序列问题

总结:
贪心:由上一步的最优解推到下一步的最优解,而上一步之前的(历史)最优解则不作保留。
动态规划:是需要记录之前所有的记录;动态规划可能需要之前的多个记录才能推导出下一步。贪心可以说是动态规划的特例,只需要上一步的记录就可以推出下一步。

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