图论算法学习

图的基本概念和术语

定义和基本术语

• ➢图( graph)是种网状数据结构 ,图是由非空的顶点集合和一个描述顶点之间关系的集合组成。
• ➢图由顶点和边组成,顶点表示对象,边表示两个对象间的连接关系。
• ➢图大体分两种,边没有指向性的叫无向图,边具有指向性的叫有向图。
  
• ➢边可以带权值,称为带权图。

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无向图术语

• ➢两个顶点之间如果有边连接,视为两个顶点相邻
• ➢相邻顶点的序列称为路径
• ➢起点和终点重合的路径称为圈
  
• ➢任意两点之间都存在路径连接的图称为连通图
  
• ➢顶点连接的边数叫做这个顶点的度
  

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树和图的关系

• ➢没有圈的连通图,就是树
• ➢没有圈的非连通图,就是森林
• ➢一棵树的边数等于顶点数-1
• ➢边数等于顶点数-1的连通图,就是树

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有向图的术语

• ➢没有圈的有向图,叫做DAG ( Directed Acyclic Graph ,有向无环图)
• ➢拓扑排序定义:将DAG中的顶点以线性方式进行排序。即对于任何自顶点u到顶点v的有向边u->V ,在最后的排序结果中, 顶点u总是在顶点v的前面。这样的排序结果,称为拓扑序。

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图的表示

邻接矩阵

• ➢无向图的邻接矩阵是对称矩阵,有向时不一定;
• ➢不带权时用1/0表示是否有边;带权时,数值就是权值

邻接表

• ➢邻接表更加节约空间
• ➢但是,查询两点是否有边需遍历链表
• ➢而且,保存权值需要另外存:储一个边集

下面用代码表示：

邻接表的头结点类：

package 图的表示;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/*
 * 邻接表的头结点
 */
public class GraphNodeAl {
	public int val;  //表示节点的位置
	private List<GraphNodeAl> neighbors; //节点所在的链表，存储所有与该节点相邻的节点
	
	public GraphNodeAl(int val){
		this.val = val;
	}
	
	//获取与节点相邻的节点i
	public GraphNodeAl getNeighbor(int i){
		return neighbors.get(i);
	}
	
	//添加与节点相邻的节点
	public void add(GraphNodeAl node){
		if(this.neighbors == null){
			this.neighbors =  new  ArrayList<GraphNodeAl>();
		}
		neighbors.add(node);
	}
	
	//返回与该节点相邻的节点个数
	public int size(){
		return this.neighbors.size();
	}
}

图的实现代码：

package 图的表示;

/*
 * 用邻接表来表示图
 */
public class Graph {
	public static void main(String[] args) {
		//创建图中的九个顶点
		GraphNodeAl n1 = new GraphNodeAl(1);
		GraphNodeAl n2 = new GraphNodeAl(2);
		GraphNodeAl n3 = new GraphNodeAl(3);
		GraphNodeAl n4 = new GraphNodeAl(4);
		GraphNodeAl n5 = new GraphNodeAl(5);
		GraphNodeAl n6 = new GraphNodeAl(6);
		GraphNodeAl n7 = new GraphNodeAl(7);
		GraphNodeAl n8 = new GraphNodeAl(8);
		GraphNodeAl n9 = new GraphNodeAl(9);
		
		//为n1节点添加所有与n1相连的节点
		n1.add(n2);
		
		
		//为n2添加所有与n2相邻的节点
		n2.add(n1);
		n2.add(n4);
		n2.add(n5);
		n2.add(n8);
		
		n3.add(n4);
		
		n4.add(n2);
		n4.add(n3);
		
		n5.add(n2);
		n5.add(n6);
		n5.add(n7);
		n5.add(n9);
		
		n6.add(n5);
		
		n7.add(n5);
		
		n8.add(n2);
		
		n9.add(n5); 
	}
}