引言

原理

信息熵

条件熵

扫描二维码关注公众号，回复： 11375399 查看本文章

信息增益比求解

结果分析

案例的代码实现

上一篇：【机器学习（二）】K近邻算法：原理、kd树构造和查找、案例分析、代码（机器学习库、自己实现）

引言

在机器学习和深度学习中，经常会用到信息熵（entropy）这个概念，可以理解为熵表示的是随机变量不确定度的衡量。例如概率0.5比概率0.3的不确定度要高。

原理

信息熵

设X是一个取值有限的离散随机变量，其概率分布为： $P(X=x_i)=p_i, i=1,2,3,...,n$ ，则随机变量X的熵定义为 $H(X)=-\sum_{i=1}^{n}p_ilogp_i$

通常log取2或者3，得到的熵的单位分别称作比特或纳特。从这就可以知道，熵依赖X的分布，和X的取值无关，所以也可以把X的熵记做 $H(p)$ :

$H(p)=-\sum_{i=1}^{n}p_ilogp_i$

当随机变量只有两个取值的时候，例如0,1，那么X的分布为：

$P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,0\leq p\leq 1$

那么X的熵为：

$H(p)=-p\log_2p-(1-p)log_2(1-p)$

$H(p)$ 的变化曲线如下：

从上图中可以看出，当p=0或者1的时候，熵为0，这个时候不确定度最低，因为p=0或1已经决定x属于什么了。

同理，当p=0.5的时候不确定度最高，此时很难分清x到底是什么。

条件熵

设随机变量（X,Y）的联合概率分布为： $P(X=x_i,Y=y_i)=p_i_j$

条件熵 $H(Y|X)$ 表示在已知随机变量X的条件下，Y的不确定度，因此 $H(Y|X)=\sum_{i=1}^{n}p_iH(Y|X=x_i)$

这里 $p_i=P(X=x_i)$

当熵和条件熵是有训练数据估计而来的，那么对应的熵和条件熵称为经验熵和经验条件熵。

信息增益

信息增益是表示数据集中某个特征X的信息使类Y的信息的不确定性减少的程度，即特征X让类Y不确定度降低。

特征A对训练数据集D的信息的信息增益 $g(D,A)$ ，定义为集合D的熵 $H(D)$ 与特征A给定条件下D的条件熵 $H(D|A)$ 之差

$g(D,A)=H(D)-H(D|A)$

其中 $H(D)$ 和 $H(D|A)$ 之差成为互信息

信息增益算法流程

数据集为D；样本容量为 $|D|$ ，即样本个数。

K为分类个数， $|C_k|$ 表示属于类别 $C_k$ 的样本个数， $\sum_{k=1}^{K}|C_k|=|D|$ 。

特征A取值有 $a_1,a_2,...,a_n$ ，根据A的取值，把D划分成n个子集 $D_1,D_2,...,D_n$ ， $|D_i|$ 是 $D_i$ 的样本个数， $\sum_{i=1}^{n}|D_i|=|D|$ 。

子集 $D_i$ 中属于 $C_k$ 的样本的集合为 $D_i_k$ ， $|D_i_k|$ 是 $D_i_k$ 的样本个数。

输入：训练数据集D和特征A

输出：特征A对数据集D的信息增益 $g(D,A)$

计算数据D的经验熵 $H(D)=-\sum_{k=1}^{K}\frac{C_k}{D}log_2\frac{C_k}{D}$

计算特征A对数据集D的经验条件熵 $H(D|A)=-\sum_{i=1}^{n}\frac{|D_i|}{|D|}\sum_{k=1}^{K}\frac{|D_i_k|}{|D_i|}log_2\frac{|D_i_k|}{|D_i|}$

计算信息增益 $g(D,A)=H(D)-H(D|A)$

信息增益比

有时候以信息增益来划分训练数据集的特征，会存在偏向于选择取值较多的特征问题，使用信息增益比可以对这一个问题进行校正，成文一种更加权衡的选择标准。

特征A对训练数据D的信息增益比 $g_R(D,A)$ 定义为信息增益 $g(D,A)$ 与训练数据D关于特征A的值的熵之比：

$g_R(D,A)=\frac{g(D,A)}{H_A(D)}$ ，其中 $H_A(D)=-\sum_{i=1}^{n}\frac{|D_i|}{|D|}log_2\frac{|D_i|}{|D|}$ ，n是特征A取值的个数。

案例

表中是贷款申请表，最后的类别代表是否给予贷款的分类，求训练集信息熵、信息增益和信息增益比。

信息熵求解

从类别中可以知道，是有9个，否有6个，所以信息熵为0.971：

信息增益求解

这里需要对每个特征分别单独求解，例如信贷特征，有三类。一般、好和非常好分别是：5,6,4。

在一般中，是有1个，否有4个；

在好中，是有4个，否有2个；

在非常好中，是有4个，否有0个。所以计算如下：

信息增益比求解

上面已经计算过信息增益了，因此只需计算特征熵即可，计算如下：

结果分析

如果以信息增益为特征选择标准，可以知道房子的权重最大，因此优先选择房子作为首要特征，信贷特征其次。

信息增益比则是对信息增益进行了校正，从结果中可以知道，房子特征依旧是首要特征，但是工资特征其次，而不是信息增益中的信贷。

案例的代码实现

没有使用机器学习库实现：

import numpy as np
import pandas as pd
from math import log

def create_data():
    datasets = [['青年', '否', '否', '一般', '否'],
                ['青年', '否', '否', '好', '否'],
                ['青年', '是', '否', '好', '是'],
                ['青年', '是', '是', '一般', '是'],
                ['青年', '否', '否', '一般', '否'],
                ['中年', '否', '否', '一般', '否'],
                ['中年', '否', '否', '好', '否'],
                ['中年', '是', '是', '好', '是'],
                ['中年', '否', '是', '非常好', '是'],
                ['中年', '否', '是', '非常好', '是'],
                ['老年', '否', '是', '非常好', '是'],
                ['老年', '否', '是', '好', '是'],
                ['老年', '是', '否', '好', '是'],
                ['老年', '是', '否', '非常好', '是'],
                ['老年', '否', '否', '一般', '否'],
                ]
    labels = [u'年龄', u'有工作', u'有自己的房子', u'信贷情况', u'类别']
    # 返回数据集和每个维度的名称
    return datasets, labels


# 熵
def calc_ent(datasets):
    data_length = len(datasets)
    label_count = {}
    for i in range(data_length):
        label = datasets[i][-1]
        if label not in label_count:
            label_count[label] = 0
        label_count[label] += 1
    ent = -sum([(p / data_length) * log(p / data_length, 2) for p in label_count.values()])
    return ent


# 经验条件熵
def cond_ent(datasets, axis=0):
    data_length = len(datasets)
    feature_sets = {}
    for i in range(data_length):
        feature = datasets[i][axis]
        if feature not in feature_sets:
            feature_sets[feature] = []
        feature_sets[feature].append(datasets[i])
    cond_ent = sum([(len(p) / data_length) * calc_ent(p) for p in feature_sets.values()])
    return cond_ent


# 信息增益
def info_gain(ent, cond_ent):
    return ent - cond_ent


def info_gain_train(datasets):
    count = len(datasets[0]) - 1
    ent = calc_ent(datasets)
    best_feature = []
    for c in range(count):
        c_info_gain = info_gain(ent, cond_ent(datasets, axis=c))
        best_feature.append((c, c_info_gain))
        print('特征({}) - info_gain - {:.3f}'.format(labels[c], c_info_gain))
    # 比较大小
    best_ = max(best_feature, key=lambda x: x[-1])
    return '特征({})的信息增益最大，选择为根节点特征'.format(labels[best_[0]])

datasets, labels = create_data()
train_data = pd.DataFrame(datasets, columns=labels)
print(train_data)
print('特征信息增益为：', info_gain_train(np.array(datasets)))

结果如下：（值计算了信息增益）

程序运算结果与手动计算结果一致。

下一篇：【机器学习（四）】决策树、ID3算法、C4.5算法、CART算法：原理，案例和代码

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

更新2020-6-17，将信息增益图中错误的地方改正，对代码进行简化。

【机器学习（三）】机器学习中：信息熵，信息增益，信息增益比，原理，案例，代码实现。

引言

原理

信息熵

条件熵

信息增益

信息增益算法流程

信息增益比

案例

信息熵求解

信息增益求解

信息增益比求解

结果分析

案例的代码实现

猜你喜欢