B-、B、B+树简介及模拟实现

B-、B、B+树简介及模拟实现

一、B树

B树就是二叉搜索树：

二叉搜索树详解

二、B-树

1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适用于外查找的树，它是 一种平衡的多叉树。

1.性质

一棵M阶B-树(balanced tree of order m)是一棵平衡的M路搜索树。它或者是空树，或者是满足 下列性质 的树：

• 1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
• 2.根结点的儿子数为[2, M]；
• 3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2,M]；
• 4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）
• 5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
• 6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；即2从左往右是递增的
• 7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
• 8.所有叶子结点位于同一层；

如：M == 3

B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

2.特性

B-树的特性：

• 1.关键字集合分布在整颗树中；

• 2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；

• 3.搜索有可能在非叶子结点结束；

• 4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

• 5.自动层次控制；

  由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：
  

其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；
所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；
由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；

三、B+树

1.性质

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树，除了：

• 1.非叶子结点的子树指针树和关键字个数相同；
• 2.非叶子结点孩子范围是[ )区间；
• 3.为所有叶子节点增加链指针；
• 4.所有关键字都在叶子节点出现；
• 5.搜索只有在叶子节点才能结束，不能在非叶子节点结束。
  

2.特性

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+的特性：

• 1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

• 2.不可能在非叶子结点命中；

• 3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

• 4.更适合文件索引系统；

四、B*树

是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

• B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

• B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；

• B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

• B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；

• 如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

• 所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

小结：

   B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；

   B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；

   所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；

   B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；

   B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3

五、摸拟实现B+树

～～～待续