进位计数制
1.进位计数制的基本概念
凡是按照进位的方式计数的数值称为进位计数制，简称为数制。生活中我们常用十进制计数，有些情况下我们也使用其它进制，比如使用六十进制表示时间中的小时、分、秒的计数。
各种进位计数制可统一表示为：
(n)∑(i=-m) K (i)×R^i
各参数说明：R——某种进位计数制的基数。
i——位序号
K (i)——第i位上的一个数码，为0~（R-1）中的任一个
R^i——则表示第i位上的权
m，n——最低位和最高位的位序号
数值中的三个基本名词术语：
数码——用不同的数字符号来表示一种数制的数值，这些数字符号称为“数码”。例如，十进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而二进制的数码只有0和1.
基数——数值所使用的数码的个数称为“基数”，简称“基”。所以某种进位制中，基数是会产生进位的数值，也就是每个位数中所允许的最大数码值加1.例如，在十进制中，每位上的数码允许选用0~9这十个数码中的一个，十进制数制的基数就等于10.而二进制的每位上的数码允许选用0或1两个数码中的一个，二进制数制的基数就等于2.
位权——一个数码在不同的位数上时所表示的数值是不同的，例如，在十进制中，个位上的1代表1×10^0，而百位上的1则表示1×10^2.某数值各位所具有的值称为“位权”，简称“权”。该位数码所表示的数值就等于该数码本身的值乘以该位的权值。
例如：十进制数123456.7可以表示为：
123456.7=1*10^5+2*10^4+3*10^3+4*10^2+5*10^1+6*10^0+7*10^-1
2.常用的进位计数制
计算机科学中常用的计数制是二进制、八进制、十六进制。下面将一一进行介绍。
（1）二进制。二进制数，数的基为2，只有两个数码0和1.逢二进一，借一当二。一般资料中表示一个数为某进制计数制，使用括号加下标的方式来表示，例如(1101)下标2这个数表示二进制的1101.
例. 二进制数（1011.0101）下标2所表示十进制数
（1011.0101）下标2=1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4
=8+0+2+1+0+1/4+0+1/16
=(11.3125)下标10
将二进制数转换为十进制数相对简单，但将一个十进制数转换为二进制数，需要一些方法和技巧来完成。
整数部分，十进制整数转换为二进制整数采用“除2取余，逆序排列”法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为0时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位 有效位，后得到的余数作为二进制的高位有效位，依次排列起来。例如，将十进制数（789）下标10转换为二进制位，计算过程如下：
789/2=394==============余1 第十位
394/2=197==============余0 第九位
197/2=98===============余1 第八位
98/2=49================余0 第七位
49/2=24================余1 第六位
24/2=12================余0 第五位
12/2=6=================余0 第四位
6/2=3==================余0 第三位
3/2=1==================余1 第二位
1/2=0==================余1 第一位
将所有的余数从下到上依次排列，得到（789）下标10=（1100010101）下标2
小数部分，十进制小数转换成二进制小数采用“乘2取整，顺序排列”法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。例如，将十进制小数（0.7）下标10转化为二进制数，计算过程如下：
0.7*2=1.4===============取出整数部分1
0.4*2=0.8===============取出整数部分0
0.8*2=1.6===============取出整数部分1
0.6*2=1.2===============取出整数部分1
0.2*2=0.4===============取出整数部分0
0.4*2=0.8===============取出整数部分0
0.8*2=1.6===============取出整数部分1
…………………………………………………
将每次计算得到的整数部分一次排列，得到（0.7）下标10=（0.1011001……），得到的二进制小数是一个无限循环小数。
例、将十进制数转换为二进制数（135.375）10下标
整数部分：
135/2=67================余1
67/2=33=================余1
33/2=16=================余1
16/2=8==================余0
8/2=4===================余0
4/2=2===================余0
2/2=1===================余0
1/2=0===================余1
整数部分（135）10下标=（10000111）2下标
小数部分：
0.375*2=0.75==============取出整数部分0
0.75*2=1.5===============取出整数部分1
0.5*2=1.0================取出整数部分1
小数部分（0.375）10下标=（0.011）2下标，整数部分结果和小数部分结果相加，最后得到的结果为：（10000111.011）2下标。
二进制的四则运算和十进制的四则运算原理相同，所不同的是十进制有十个数码，“逢十进一”。二进制只有两个数码：0和1，“逢二进一”，二进制运算口诀相对于十进制更为简单：
①二进制加法的进位法则是“逢二进一.”
0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=0（进位）
②二进制减法的进位法则是“借一为二”。
0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1（借位）
③二进制乘法规则。
0*0=0 1*0=0 0*1=0 1*1=1
④二进制除法即是乘法的逆运算，类似十进制除法。
【例】(1110)下标2+(1011)下标2
1 1 1 0
+ 1 0 1 1
------------------------
1 1 1 0 0 1
【例】（1001）2下标×(1010)2下标的结果。
1 0 0 1 被乘数
1 0 1 0 乘数
--------------------------------
0 0 0 0
1 0 0 1 部分积
0 0 0 0
1 0 0 1
--------------------------------
1 0 1 1 0 1 0
得（1011010）2下标
（2）八进制。人们日常使用的计数制是十进制，而计算机中使用的计数制是二进制，那么为什么还要使用八进制和十六进制呢？因为二进制对人类来说较难理解和使用，数值稍大的二进制数占用位数较多，不便读写，因此常用八进制或十六进制作为人和计算机之间数值理解的桥梁。
八进制数，数的基为8，有8个数码0~7，逢八进一，借一当八。例如，八进制数（724）8下标所表示的十进制数为：7*8^2+2*8^1+4*8^0=(468)10下标。
关于八进制数最常用到的就是和二进制数之间的相互转换。
将二进制数转换为八进制数的方法是将二进制数从小数点开始分别向左（对二进制整数）或向右（对二进制小数）每三位组成一组，转换成八进制数码中的1个数字，连接起来即可，不足3位的补0。
【例】将二进制数（101100011.011100101）2下标转换为八进制数表示
101 100 011. 011 100 101
5 4 3. 3 4 5
（101100011.011100101）2=（543.345）8下标
将八进制数转换为二进制数的方法与二进制数转八进制数的方法相反，即从小数点开始分别向左（整数部分）和向右（小数部分）每一位分成一组对应二进制的三位。
【例】将八进制数（7351.65）8下标转换成二进制数表示
7 3 5 1. 6 5
111 011 101 001. 110 101
（7351.65）8下标=（111011101001.110101）2下标
（3）十六进制。十六进制数，数的基为16，有16个数码0~9和ABCDEF，其中A~F相当于十进制中的10~15.逢十六进一，借一当十六。
例如，十六进制数（2AF5）16下标所表示的十进制数为：2*16^3+10*16^2+15*16^1+5*16^0=(10997)10下标。其中十六进制数（2AF5）16下标中的“A”和“F”对于首次接触十六进制的人来说可能稍微有些不习惯，这里的“A”代表的是十六进制中的数码10.因为十六进制一共有16个数码，我们常见的0~9这十个数码已经不够使用，所以用大写英文字母A~F或小写字母a~f分别代表数码10~15.
与八进制相同，关于十六进制数最常用的就是和二进制数之间的相互转换，转换方法和八进制和二进制之间的转换方法也非常相似。
由于在二进制的表示方法中，每四位所表示的数的最大值对应16进制的15，即16进制每一位上最大值，所以，我们可以得出十六进制数转二进制数的转换方法，将16进制上每一位分别对应二进制上四位进行转换，即得所求。
【例】将十六进制数（BF4.B5）16下标转换成二进制数表示是多少？
B F 4. B 5
1011 1111 0100. 1011 0101
得：（BF4.B5）16下标=（101111110100.10110101）2下标
同理，将二进制转换为十六进制的方法是将二进制小数点开始分别向左（对二进制整数）或向右（对二进制的小数）每4位组成一组，转换成十六进制码中的1个数字，连接起来即可，不足位的补0.
【例】将二进制数（10111001101.010110）二下标转换为十六进制数表示是多少？
0101 1100 1101. 0101 1000
5 C D. 5 8
得：（10111001101.010110）2下标=（5CD.58）16下标
（4）BCD码。人们通常习惯使用十进制方式来计数，而计算机内部采用二进制表示和处理数值数据，因此在计算机输入和输出数据时，就要进行由十进制到二进制的转换处理。
把十进制数的每一位分别写成二进制形式的编码，称为二进制编码的十进制数，即BCD（Binary Coded Decimal）码，也称二-十进制码。这种编码形式利用了4位二进制数来存储一个十进制数码，使二进制和十进制之间的转换得以快捷的进行。这种编码技巧，最常用于会计系统的设计中，因为会计制度经常需要对很长的数字串作准确的计算。相对于一般的浮点式计数法，采用BCD码，即可保存数值的精确度，又可免却使电脑作浮点运算时所耗费的时间。此外，对于其它需要高精度的计算，BCD 码也很常用。
BCD码编码方法很多，通常采用8421编码，这种编码方式最自然简单。其方法使用四位二进制数表示以为十进制数，从左向右每一位对应的权分别是2^3、2^2、2^1、2^0，即8、4、2、1。例如，十进制数1975的8421码可以这样得出：（1975）10下标=（0001 1001 0111 0101）BCD下标。
用4位二进制表示一位十进制会多出6种状态，这些多余状态码称为BCD码中的非法码。BCD码与二进制之间的转换不是直接进行的；当需要将二进制转换成BCD码时，要先将二进制转换成十进制码，然后再转换成BCD码。
【例】将二进制数（1011.0101）2下标转换为8421BCD码表示是多少？
首先将二进制数1011.0101转换成十进制
1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4=8+2+1+0.25+0.0625=11.3125
然后按位转换： 1 1. 3 1 2 5
0001 0001. 0011 0001 0010 0101
得BCD码为00010001.0011000100100101