题目链接
设$f_{i,u}$表示第$i$天$u$城市的魔法值。写一下式子：$$f_{i,u}=\bigoplus\limits_{(u,v)} f_{i-1,v}$$
其中$\bigoplus$表示连续异或。
然后考虑加入邻接矩阵$g_{u,v}$取代枚举出边：$$f_{i,u}=\bigoplus\limits_{v=1}^n f_{i-1,v}\times g_{u,v}$$
然后我们发现，这是个异或的矩阵乘法。
设$F_i$表示第$i$天的各城市魔法值的向量，$G$表示邻接矩阵，定义异或和$$(A\oplus B)_{i,j}=\bigoplus\limits_{t=1}^k A_{i,t}\times B_{t,j}$$
那么$$\begin{matrix}F_i=F_0\oplus &\underbrace{G\oplus G\oplus \cdots \oplus G}\\&i个G\end{matrix}$$
考虑矩阵快速幂。先证一下结合律，即求证：$$A\oplus B\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$$
写一下式子：设$A$是$n\times p$矩阵，$B$是$p\times q$矩阵，$C$是$q\times m$矩阵，它们的异或和是$n\times m$矩阵。
$$(A\oplus B\oplus C)_{i,j}=\bigoplus\limits_{x=1}^q (\bigoplus\limits_{y=1}^p A_{i,y}\times B_{y,x})\times C_{x,j}$$
注意：一般来说，异或对乘法是没有分配率的，例如$3\times(1\oplus 2)=9\ne (3\times 1)\oplus (3\times 2)=5$。
但是注意到$C$矩阵一定是一个$01$矩阵（显然，如果一些$01$矩阵进行异或和运算，只有乘法和异或，结果一定也还是$01$矩阵），它拆括号乘进去，不管$C_{x,j}$是$0$还是$1$，整个式子的值都不会发生变化。
那么得到$$(A\oplus B\oplus C)_{i,j}=\bigoplus\limits_{x=1}^q\bigoplus \limits_{y=1}^p A_{i,y}\times B_{x,y}\times C_{x,j}$$
同理，对于$A\oplus(B\oplus C)$，也可以同样写出式子去括号得到相同的结果，因此两者相等。也即，当$C$是$01$矩阵时，异或和运算满足结合律。
那么$$F_i=F_0\oplus G^i$$
其中$G^i=\bigoplus\limits_{j=1}^i G$。
考虑到$F_0\oplus G$的时间复杂度是$O(n^2)$，而$G\oplus G$的时间复杂度是$O(n^3)$，因此如果我们对于每次询问都跑一遍矩阵快速幂的话，时间复杂度是$O(n^3q\log a)$，期望得分40分。
那我们考虑预处理出所有$G^{2^k}$，每次询问对$a_i$进行二进制拆分，用$F_0$异或一些$G^{2^k}$，时间复杂度是$O(n^3\log a)-O(n^2q\log a)$，可以得到满分。
这里$O(f_1)-O(f_2)$表示，预处理时间复杂度为$O(f_1)$，其余时间复杂度为$O(f_2)$。
还有就是，$2^{32}-1=4,294,967,295$，它比int的$2,147,483,647$要大。自闭了。
代码（100分）：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<vector> #include<queue> #include<map> #include<set> #define IL inline #define RG register #define _1 first #define _2 second using namespace std; typedef long long LL; const int N=100; const int L=32; int n,m,q; LL a[N+3]; struct Mtx{ int n,m; LL a[N+3][N+3]; Mtx(int n=0,int m=0) :n(n),m(m){} IL Mtx operator*(Mtx b){ Mtx c(n,b.m); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=b.m;j++){ c.a[i][j]=0; for(int k=1;k<=m;k++) c.a[i][j]^=a[i][k]*b.a[k][j]; } return c; } }g[L+3],f; int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&q); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); for(int i=1,u,v;i<=m;i++){ scanf("%d%d",&u,&v); g[0].a[u][v]=g[0].a[v][u]=1; } g[0].n=g[0].m=n; for(int i=1;i<L;i++) g[i]=g[i-1]*g[i-1]; f.n=1; f.m=n; for(LL x;q;q--){ scanf("%lld",&x); memcpy(f.a[1]+1,a+1,n*sizeof(LL)); for(int j=0;j<L;j++) if((x>>j)&1) f=f*g[j]; printf("%lld\n",f.a[1][1]); } return 0; }