题解 CF578E/nflsoj621 Walking! 奇怪的脚印

注：本题最初来源是CF578E Walking，后被选入IOI2020国家队作业，之后又出现在六校联考 #33这场模拟赛中。

首先，将整个串划分为，尽可能少的、\(\text{L},\text{R}\)交替的子序列（不一定连续），再考虑将这些子序列拼起来。设划分出了\(k\)个子序列，则答案的下界显然是\(k-1\)。确定了一种划分方法后，我们要做的，是构造一种拼接这些子序列的方法，使答案取到这个下界。

划分，可以贪心解决。从前向后依次考虑\(S\)的每个位置。维护前面已经划分出的所有子序列。如果有末尾字母和\(S\)当前位置上字母不同的子序列，就把当前位置加入到这个子序列中，否则就令当前位置单独作为一个子序列。这样就愉快地划分好了（正确性请感性理解）。

接下来要构造拼接方案。我们把划分出的这些子序列，按照首、尾字母，分为：\(\text{LL}\), \(\text{RR}\), \(\text{LR}\), \(\text{RL}\)四类。

因为题目保证了\(\text{L},\text{R}\)的总数相差不超过\(1\)，所以\(\text{LL}\), \(\text{RR}\)两类子序列的数量相差不超过\(1\)。考虑先将这两类子序列拼接起来：

如果\(\text{LL}\), \(\text{RR}\)数量相等，则可以得到一个大的，形如：\(\text{LR}\)的“子序列”。注意，这里打引号的“子序列”，意思是它实际上并不真的是原序列的一个子序列，因为在拼接时，会有“跳回去”（也就是“倒着走”）的情况。但这个“子序列”，代表的含义是连续的一段脚印，所以在构造方案时，它和真正的子序列没有区别。在下面的表述中，我们会用引号和斜体标注这种等价的“子序列”，如果未被标注，则表示通常意义上的子序列。
如果\(\text{LL}\)比\(\text{RR}\)多，则可以得到一个形如\(\text{LL}\)的“子序列”。
如果\(\text{RR}\)比\(\text{LL}\)多，则可以得到一个形如\(\text{RR}\)的“子序列”。

经过这一番拼接，我们手上，\(\text{LL}\), \(\text{RR}\)两种“子序列”，最多只剩一个。

再考虑拼接\(\text{LR}\), \(\text{RL}\)这两类“子序列”。我们首先可以把所有\(\text{LR}\)拼成一个大的\(\text{LR}\)，也可以把所有\(\text{RL}\)拼成一个大的\(\text{RL}\)。现在我们手上最多只剩一个\(\text{LR}\)和一个\(\text{RL}\)。怎样把它们拼在一起呢？比较棘手。这也是本题的难点。

考虑\(\text{LR}\)和\(\text{RL}\)的最后一个位置（是脚印序列的最后一个脚印，但并不一定是“子序列”中坐标最大的位置，因为“子序列”可能存在“跳回去”的情况），分别记为\(p\), \(q\)。不妨假设\(p<q\)。那么，我们可以把\(q\)这个位置上的\(\text{L}\)，接到\(\text{LR}\)序列的末尾，再把\(\text{RL}\)序列，除了\(q\)以外的其它部分，（从前往后）依次接在后面。这样，我们就用\(1\)次“跳回去”的操作，成功合并了\(\text{LR}\)和\(\text{RL}\)两个“子序列”。

现在，我们手上，\(\text{LR}\), \(\text{RL}\)两种“子序列”，最多只剩一个。

综上，在最后，我们手上的子序列，有如下几种可能：

只剩一个“子序列”了。那么它的长度必为\(n\)，直接把这个“子序列”输出即可。
剩\(\text{LL}\), \(\text{RR}\)两种中的一个，和\(\text{LR}\), \(\text{RL}\)两种中的一个。分四类情况讨论一下，在满足\(\text{L},\text{R}\)交替的前提下，将它们拼接即可。

时间复杂度，\(O(|S|)\)。

参考代码：

//problem:nflsoj621
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())

typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;

const int MAXN=1e5;
int n,cnt;
char s[MAXN+5];
vector<int>vL,vR,v[MAXN+10];
vector<int>LL,RR,LR,RL;

int main() {
	cin>>(s+1);
	n=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(s[i]=='L'){
			if(!SZ(vR)){
				++cnt;
				vL.pb(cnt);
				v[cnt].pb(i);
			}
			else{
				vL.pb(vR.back());
				v[vR.back()].pb(i);
				vR.pop_back();
			}
		}
		else{
			if(!SZ(vL)){
				++cnt;
				vR.pb(cnt);
				v[cnt].pb(i);
			}
			else{
				vR.pb(vL.back());
				v[vL.back()].pb(i);
				vL.pop_back();
			}
		}
	}
	cout<<cnt-1<<endl;
	for(int i=1;i<=cnt;++i){
		int st=v[i][0],ed=v[i].back();
		if(s[st]=='L' && s[ed]=='L')LL.pb(i);
		if(s[st]=='R' && s[ed]=='R')RR.pb(i);
		if(s[st]=='L' && s[ed]=='R')LR.pb(i);
		if(s[st]=='R' && s[ed]=='L')RL.pb(i);
	}
	if(SZ(LL) && SZ(RR)){
		if(SZ(LL)==SZ(RR)){
			++cnt;
			LR.pb(cnt);
			for(int i=0;i<SZ(LL);++i){
				for(int j=0;j<SZ(v[LL[i]]);++j)v[cnt].pb(v[LL[i]][j]);
				for(int j=0;j<SZ(v[RR[i]]);++j)v[cnt].pb(v[RR[i]][j]);
			}
			vector<int>().swap(LL);
			vector<int>().swap(RR);
		}
		else if(SZ(LL)>SZ(RR)){
			assert(SZ(RR)==SZ(LL)-1);
			++cnt;
			for(int i=0;i<SZ(RR);++i){
				for(int j=0;j<SZ(v[LL[i]]);++j)v[cnt].pb(v[LL[i]][j]);
				for(int j=0;j<SZ(v[RR[i]]);++j)v[cnt].pb(v[RR[i]][j]);
			}
			int i=SZ(RR);
			for(int j=0;j<SZ(v[LL[i]]);++j)v[cnt].pb(v[LL[i]][j]);
			vector<int>(1,cnt).swap(LL);
			vector<int>().swap(RR);
		}
		else{
			assert(SZ(LL)==SZ(RR)-1);
			++cnt;
			for(int i=0;i<SZ(LL);++i){
				for(int j=0;j<SZ(v[RR[i]]);++j)v[cnt].pb(v[RR[i]][j]);
				for(int j=0;j<SZ(v[LL[i]]);++j)v[cnt].pb(v[LL[i]][j]);
			}
			int i=SZ(LL);
			for(int j=0;j<SZ(v[RR[i]]);++j)v[cnt].pb(v[RR[i]][j]);
			vector<int>().swap(LL);
			vector<int>(1,cnt).swap(RR);
		}
	}
	assert(SZ(LL)<=1);assert(SZ(RR)<=1);assert(!(SZ(LL)==1 && SZ(RR)==1));
	if(SZ(LR)>1){
		++cnt;
		for(int i=0;i<SZ(LR);++i){
			for(int j=0;j<SZ(v[LR[i]]);++j)v[cnt].pb(v[LR[i]][j]);
		}
		vector<int>(1,cnt).swap(LR);
	}
	if(SZ(RL)>1){
		++cnt;
		for(int i=0;i<SZ(RL);++i){
			for(int j=0;j<SZ(v[RL[i]]);++j)v[cnt].pb(v[RL[i]][j]);
		}
		vector<int>(1,cnt).swap(RL);
	}
	assert(SZ(LR)<=1);assert(SZ(RL)<=1);
	if(SZ(LR) && SZ(RL)){
		if(v[LR[0]].back() > v[RL[0]].back()){
			v[RL[0]].pb(v[LR[0]].back());
			for(int i=0;i<=SZ(v[LR[0]])-2;++i)
				v[RL[0]].pb(v[LR[0]][i]);
			vector<int>().swap(LR);
		}
		else{
			v[LR[0]].pb(v[RL[0]].back());
			for(int i=0;i<=SZ(v[RL[0]])-2;++i)
				v[LR[0]].pb(v[RL[0]][i]);
			vector<int>().swap(RL);
		}
	}
	#define printv(v) do{for(int i=0;i<SZ((v));++i)cout<<(v)[i]<<" ";}while(0)
	if(!SZ(LL) && !SZ(RR)){
		if(SZ(LR))printv(v[LR[0]]);
		if(SZ(RL))printv(v[RL[0]]);
	}
	else if(!SZ(LR) && !SZ(RL)){
		if(SZ(LL))printv(v[LL[0]]);
		if(SZ(RR))printv(v[RR[0]]);
	}
	else if(SZ(LL) && SZ(LR)){
		printv(v[LR[0]]);printv(v[LL[0]]);
	}
	else if(SZ(LL) && SZ(RL)){
		printv(v[LL[0]]);printv(v[RL[0]]);
	}
	else if(SZ(RR) && SZ(LR)){
		printv(v[RR[0]]);printv(v[LR[0]]);
	}
	else if(SZ(RR) && SZ(RL)){
		printv(v[RL[0]]);printv(v[RR[0]]);
	}
	else assert(0);
	cout<<endl;
	return 0;
}

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