十七、逆函数（二）

1. 函数可逆的两个条件隐含的几何意义

假设：

$T: R^n \rightarrow R^m$

$T(\vec{x}) = \underset{m \times n}{A} \vec{x}$

$Invertible \Leftrightarrow \begin{cases} onto & \text{ if } rank(A) = m \\ one-to-one & \text{ if } rank(A) = n \end{cases}$

“一对一”等价于“A的零空间是平凡的”，等价于“A的列向量集合是线性无关的”，等价于“A的秩等于n”，因此m=n，即矩阵A必须是个方阵，且矩阵A的行简化阶梯型为n*n的单位矩阵

2. 逆矩阵是线性变换

如果T是线性变换，且T可逆，那么T逆也是一个线性变换。看起来没什么，但其实这个结论非常重要，因为T逆是线性变换，因此T逆可以用一个矩阵向量乘积来表示。

证明：
$\begin{align*} & T^{-1} o T = I_{R^n} \\ & T o T^{-1}= I_{R^n} \\ & because: \\ & T(\vec{x} + \vec{y}) = T(\vec{x}) + T(\vec{y}) \\ & T(c\vec{x}) = cT(\vec{x}) \\ & and: \\ & T o T^{-1}(\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} + \vec{y} \\ & T o T^{-1}(\vec{x}) = \vec{x} \\ & T o T^{-1}(\vec{y}) = \vec{y} \end{align*}$

$\begin{align*} & so: \\ & T o T^{-1}(\vec{x} + \vec{y}) = T o T^{-1}(\vec{x}) + T o T^{-1}(\vec{y}) \\ & T(T^{-1}(\vec{x} + \vec{y})) = T(T^{-1}(\vec{x})) + T(T^{-1}(\vec{y})) \\ & T(T^{-1}(\vec{x} + \vec{y})) = T(T^{-1}(\vec{x}) + T^{-1}(\vec{y})) \\ & T^{-1}(T(T^{-1}(\vec{x} + \vec{y}))) = T^{-1}(T(T^{-1}(\vec{x}) + T^{-1}(\vec{y}))) \\ & T^{-1} o T(T^{-1}(\vec{x} + \vec{y})) = T^{-1} o T(T^{-1}(\vec{x}) + T^{-1}(\vec{y})) \\ & T^{-1}(\vec{x} + \vec{y}) = T^{-1}(\vec{x}) + T^{-1}(\vec{y}) \end{align*}$

$\begin{align*} &T o T^{-1}(c \vec{x}) = c \vec{x} \\ &T o T^{-1}(c \vec{x}) = c(T o T^{-1}(\vec{x})) \\ &T(T^{-1}(c \vec{x})) = c(T(T^{-1}(\vec{x}))) \\ &T(T^{-1}(c \vec{x})) = T(cT^{-1}(\vec{x})) \\ &T^{-1}(c \vec{x}) = c T^{-1}(\vec{x}) \end{align*}$

证明完毕

3. 为什么“高斯消去法”可以求出逆矩阵

1. 行变换（行运算）等价于矩阵列向量的线性变换，证明过程如下：

假设：

$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ -1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

如果要把A变为行简化阶梯型，

第一步：行1不变，行2加行1的结果代替行2，行3不变

$A \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

相当于三个列向量

$\vec{a_1} = \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}, \; \vec{a_2} = \begin{bmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}, \; \vec{a_3} = \begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 4 \end{bmatrix}$

分别执行下面的线性变换

$T \left ( \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 + a_1\\ a_3 \end{bmatrix}$

将线性变换用矩阵向量积来表示：

$T \left ( \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} = \mathbf{S_1} \vec{a}$

即第一步等价于

$\left [ S_1 \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} \;\; S_1 \begin{bmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{bmatrix} \;\; S_1 \begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 4 \end{bmatrix} \right ] = \mathbf{S_1} \mathbf{A}$

因此，行变换等价于矩阵列向量的线性变换

第二步：行1不变，行2不变，行3减行1的结果代替行3

$A \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix} \rightarrow \cdots$