现在的题面都很长，可是我们要仔细分析。在考场上一定要想出题人的意图，我们看看题目:
\[c_1 = m^{e_1}mod N \]
\[c_2 =m^{e_2}mod N \]
考场上仔细想一想就知道，出题人难道是白痴吗，告诉你
如果找到可以快速分解大整数的方法，密码安全性就收到威胁
然后就可以在考场上叫你打一个很多人听都没听过的算法？！QwQ
所以我在考场上思考了一会儿，就注意到上面的东西（我再展示一次）
\[c_1 = m^{e_1}\mod N \]
\[c_2 =m^{e_2}\mod N \]
很显然，出题人给了你两个等式，我们的切入点就应该在两个等式的关系上入口。
我们再看题目：
设两个用户的公钥分别为e1 和e2，且两者互质。
所以根据我们要（四声）求的m，我们就会联想到指数，m的指数为1，这个时候学过欧几里得算法的人们就会警惕，诶，我们在学扩展欧几里得的时候不是见到过这个等式吗：
\[e1\times x +e2\times y=gcd(e1,e2) \]
由于我们校内检测是刚学了数论考的，所以我很容易联想到，但这也是AC这道题的基本素养。
因为两者互质，所以我们明显可以先将两个等式的指数变为只相差一的式子，然后相除（就是逆元）就可以AC了。
对于一些数论还不熟悉的同学（我在很长时间内也是），我现在讲一下为什么可以转化。
自己想：
\[x\; mod\;N=g \]
那么
\[x^{n}\;mod\;N=g^{n} \]
这是其一；
然后就是上方展示的扩展欧几里得的公式了
代码如下
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
#define Starseven main
using namespace std;
ll read();
void write(ll);
ll c1,c2,e1,e2,N;
ll Multi(ll a,ll b,ll p){
ll re=0;
while(b){
if(b&1) re=(re+a)%p;
b>>=1;
a=(a*2)%p;
}
return re%p;
}
ll Get_exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){
x=1,y=0;return a;
}
ll temp=Get_exgcd(b,a%b,x,y);
ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;
return temp;
}
ll Power(ll a,ll b,ll p){
ll re=1;
while(b){
if(b&1) re=Multi(re,a,p);
b>>=1;
a=Multi(a,a,p);
}
return re%p;
}
int Starseven(void){
int t=read();
while(t--){
c1=read(),c2=read(),e1=read(),e2=read(),N=read();
//cout<<c1<<" "<<c2<<" "<<e1<<" "<<e2<<" "<<N<<endl;
ll x,y;
ll judge=Get_exgcd(e1,e2,x,y);
while(x<0){
x+=e2,y-=e1;
}
ll a=Power(c1,x,N),b=Power(c2,-y,N);
ll f,g;
ll hh=Get_exgcd(b,N,f,g);
ll ans=Multi(f,a,N);
ans=(ans+N)%N;
write(ans);
puts("");
}
return 0;
}
ll read(){
char ch=getchar();
ll re=0,op=1;
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-') op=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
re=re*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return re*op;
}
void write(ll x){
if(x<0){
putchar('-');
x=-x;
}
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10+'0');
return ;
}