铺方砖

描述

有 2 * n的一个长方形方格，用一个1*2的骨牌铺满方格。编写一个程序，试对给出的任意一个n(n>0), 输出铺法总数。

输入输出样例

分析

采用递推方法归纳出问题解的一般规律。
　（1）当n=1时，只能是一种铺法，铺法总数有示为x1=1。
　（2）当n=2时：骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再无其他方法，如下左图所示，因此，铺法总数表示为x2=2；
　（3）当n=3时：骨牌可以全部竖排，也可以认为在方格中已经有一个竖排骨牌，则需要在方格中排列两个横排骨牌（无重复方法），若已经在方格中排列两个横排骨牌，则必须在方格中排列一个竖排骨牌。如上右图，再无其他排列方法，因此铺法总数表示为x3=3。
　　由此可以看出，当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和。
（4）推出一般规律：对一般的n，要求xn可以这样来考虑，若第一个骨牌是竖排列放置，剩下有n-1个骨牌需要排列，这时排列方法数为xn-1；若第一个骨牌是横排列，整个方格至少有2个骨牌是横排列（1*2骨牌），因此剩下n-2个骨牌需要排列，这是骨牌排列方法数为xn-2。从第一骨牌排列方法考虑，只有这两种可能，所以有：
xn=xn-1+xn-2 （n>2）
x1=1
x2=2
xn=xn-1+xn-2就是问题求解的递推公式。任给n都可以从中获得解答。例如n=5，
x3=x2+x1=3
x4=x3+x2=5
x5=x4+x3=8

程序

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,i,j,a[101];
    cout<<"input n:";                     
    cin>>n;
    a[1]=1;
    a[2]=2;
    cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl;
    cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl;
    for (i=3; i<=n; i++)            
    {
        a[i]=a[i-1]+a[i-2];
        cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl;
    }
}

总结

本题与斐波那契数列是同类型题，需通过带入特例来找出递推式，从而利用递推式来解题。
此类题若不采用此种方法一般比较难解。