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判断素数
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直接判断
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去偶数判断
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只需要判断到平方根
2.如何在给定的整数数组中找到重复的数字?
插入排序
HashSet
重新排序数组每个数字，当扫描到数字m的时候判断下标为i的数字是否等于m：如果是，就寻找下一个；如果不是，就判断下标为m的对应的数字是否等于m，如果它与第m个数字相等，就等于找到了一个重复的数字，如果不相等就把第i个数与第m个数交换位置，把m放在其对应的下标m的位置。
例如：
首先给定数组arr[] = {2, 3, 0, 1, 3}。因为数组中最大的数是n-1，那就一个萝卜一颗坑。从0号下标位置开始，0号元素为2，不等于0，交换0号和2号位置，数组变为：
{0, 3, 2, 1, 3}。再比较0号位置，下标和值相等，往后走到1号下标元素为3，不等于1，交换1号和3号，变成：{0, 1, 2, 3, 3}。再继续，下标来到4号位置，发现元素下标与值不相等，比较4号和3号下标位置，发现元素相等，返回3即可。
3.如何在未排序整数数组中找到最大值和最小值?
一次遍历，2n次比较
首尾先比较，再线性找最大最小，1.5n次
4.如何找到数组所有和等于一个给定数的数对?
直接比较
排序后比较
Hash表，看看sum-x在不在表里
如何在一次遍历中找到单个链表的中值?
如果有序：快慢指针
如果无序：开一个新空间进行排序
5.如何实现桶排序算法?
桶排序（Bucket sort）或所谓的箱排序，是一个排序算法，工作的原理是将数组分到有限数量的桶里。每个桶再个别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排序），最后依次把各个桶中的记录列出来记得到有序序列。桶排序是鸽巢排序的一种归纳结果。当要被排序的数组内的数值是均匀分配的时候，桶排序使用线性时间（Θ(n)）。但桶排序并不是比较排序，他不受到O(n log n)下限的影响。
如何在不使用第三个变量的情况下交换两个数字?
int a,b;
a=10;b=12;
a=b-a; //a=2;b=12
b=b-a; //a=2;b=10
a=b+a; //a=10;b=10
什么是决策树
1.数组和链表的区别，请详细解释。
从逻辑结构来看：
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a) 数组必须事先定义固定的长度（元素个数），不能适应数据动态地增减的情况。当数据增加时，可能超出原先定义的元素个数；当数据减少时，造成内存浪费；数组可以根据下标直接存取。
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b) 链表动态地进行存储分配
从内存存储来看：
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a) (静态)数组从栈中分配空间, 对于程序员方便快速,但是自由度小
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b) 链表从堆中分配空间, 自由度大但是申请管理比较麻烦
从上面的比较可以看出，如果需要快速访问数据，很少或不插入和删除元素，就应该用数组；
相反， 如果需要经常插入和删除元素就需要用链表数据结构了。
3、快速排序的改进
只对长度大于k的子序列递归调用快速排序,让原序列基本有序，然后再对整个基本有序序列用插入排序算法排序。实践证明，改进后的算法时间复杂度有所降低，且当k取值为 8 左右时,改进算法的性能最佳。
选择基准元的方式
对于分治算法，当每次划分时，算法若都能分成两个等长的子序列时，那么分治算法效率会达到最大。也就是说，基准的选择是很重要的。选择基准的方式决定了两个分割后两个子序列的长度，进而对整个算法的效率产生决定性影响。最理想的方法是，选择的基准恰好能把待排序序列分成两个等长的子序列。
方法1 固定基准元
如果输入序列是随机的，处理时间是可以接受的。如果数组已经有序时，此时的分割就是一个非常不好的分割。
方法2 随机基准元
这是一种相对安全的策略。由于基准元的位置是随机的，那么产生的分割也不会总是会出现劣质的分割。在整个数组数字全相等时，仍然是最坏情况，时间复杂度是O(n^2）。实际上，随机化快速排序得到理论最坏情况的可能性仅为1/(2^n）。所以随机化快速排序可以对于绝大多数输入数据达到O(nlogn）的期望时间复杂度。
方法3 三数取中
引入的原因：虽然随机选取基准时，减少出现不好分割的几率，但是还是最坏情况下还是O(n^2），要缓解这种情况，就引入了三数取中选取基准。
分析：最佳的划分是将待排序的序列分成等长的子序列，最佳的状态我们可以使用序列的中间的值，也就是第N/2个数。可是，这很难算出来，并且会明显减慢快速排序的速度。这样的中值的估计可以通过随机选取三个元素并用它们的中值作为基准元而得到。事实上，随机性并没有多大的帮助，因此一般的做法是使用左端、右端和中心位置上的三个元素的中值作为基准元。
选择排序算法准则：
一般而言，需要考虑的因素有以下四点：
设待排序元素的个数为n.
1）当n较大，则应采用时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法：快速排序、堆排序或归并排序。
2）当n较大，内存空间允许，且要求稳定性：归并排序
3）当n较小，可采用直接插入或直接选择排序。
直接插入排序：当元素分布有序，直接插入排序将大大减少比较次数和移动记录的次数。
直接选择排序 ：元素分布有序，如果不要求稳定性，选择直接选择排序
5）一般不使用或不直接使用传统的冒泡排序。
6）基数排序
它是一种稳定的排序算法，但有一定的局限性：
1、关键字可分解。
2、记录的关键字位数较少，如果密集更好
3、如果是数字时，最好是无符号的
冒泡排序算法的改进
1．设置一标志性变量pos,用于记录每趟排序中最后一次进行交换的位置。由于pos位置之后的记录均已交换到位,故在进行下一趟排序时只要扫描到pos位置即可。
2．传统冒泡排序中每一趟排序操作只能找到一个最大值或最小值,我们考虑利用在每趟排序中进行正向和反向两遍冒泡的方法一次可以得到两个最终值(最大者和最小者) , 从而使排序趟数几乎减少了一半。
B树和B+树的区别，以一个m阶树为例。
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1. 关键字的数量不同；B+树中分支结点有m个关键字，其叶子结点也有m个，其关键字只是起到了一个索引的作用，但是B树虽然也有m个子结点，但是其只拥有m-1个关键字。
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2. 存储的位置不同；B+树中的数据都存储在叶子结点上，也就是其所有叶子结点的数据组合起来就是完整的数据，但是B树的数据存储在每一个结点中，并不仅仅存储在叶子结点上。
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3. 分支结点的构造不同；B+树的分支结点仅仅存储着关键字信息和儿子的指针（这里的指针指的是磁盘块的偏移量），也就是说内部结点仅仅包含着索引信息。
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4. 查询不同；B树在找到具体的数值以后，则结束，而B+树则需要通过索引找到叶子结点中的数据才结束，也就是说B+树的搜索过程中走了一条从根结点到叶子结点的路径。
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每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针
3.红黑树的定义
红黑树是一种二叉查找树，但在每个结点上增加了一个存储位表示结点的颜色，可以是RED或者BLACK。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。
当二叉查找树的高度较低时，这些操作执行的比较快，但是当树的高度较高时，这些操作的性能可能不比用链表好。红黑树（red-black tree）是一种平衡的二叉查找树，它能保证在最坏情况下，基本的动态操作集合运行时间为O(lgn)。
红黑树必须要满足的五条性质：
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性质一：节点是红色或者是黑色； 在树里面的节点不是红色的就是黑色的，没有其他颜色，要不怎么叫红黑树呢，是吧。
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性质二：根节点是黑色； 根节点总是黑色的。它不能为红。
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性质三：每个叶节点（NIL或空节点）是黑色；
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性质四：每个红色节点的两个子节点都是黑色的（也就是说不存在两个连续的红色节点）； 就是连续的两个节点不能是连续的红色，连续的两个节点的意思就是父节点与子节点不能是连续的红色。
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性质五：从任一节点到其每个叶节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点。从根节点到每一个NIL节点的路径中，都包含了相同数量的黑色节点。
字典树
trie，又称前缀树，是一种有序树，用于保存关联数组，其中的键通常是字符串。与二叉查找树不同，键不是直接保存在节点中，而是由节点在树中的位置决定。一个节点的所有子孙都有相同的前缀，也就是这个节点对应的字符串，而根节点对应空字符串。一般情况下，不是所有的节点都有对应的值，只有叶子节点和部分内部节点所对应的键才有相关的值。
（3） 了解并查集吗？（低频）
什么是合并查找问题呢？
顾名思义，就是既有合并又有查找操作的问题。举个例子，有一群人，他们之间有若干好友关系。如果两个人有直接或者间接好友关系，那么我们就说他们在同一个朋友圈中，这里解释下，如果Alice是Bob好友的好友，或者好友的好友的好友等等，即通过若干好友可以认识，那么我们说Alice和Bob是间接好友。随着时间的变化，这群人中有可能会有新的朋友关系，这时候我们会对当中某些人是否在同一朋友圈进行询问。这就是一个典型的合并－查找操作问题，既包含了合并操作，又包含了查找操作。
并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。
并查集也是使用树形结构实现。不过，不是二叉树。每个元素对应一个节点，每个组对应一棵树。在并查集中，哪个节点是哪个节点的父亲以及树的形状等信息无需多加关注，整体组成一个树形结构才是重要的。类似森林
贪心算法和动态规划的区别
贪心算法：局部最优，划分的每个子问题都最优，得到全局最优，但是不能保证是全局最优解，所以对于贪心算法来说，解是从上到下的，一步一步最优，直到最后。
动态规划：将问题分解成重复的子问题，每次都寻找左右子问题解中最优的解，一步步得到全局的最优解.重复的子问题可以通过记录的方式，避免多次计算。所以对于动态规划来说，解是从小到上，从底层所有可能性中找到最优解，再一步步向上。
https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/pa-lou-ti-by-leetcode/
分治法：和动态规划类似，将大问题分解成小问题，但是这些小问题是独立的，没有重复的问题。独立问题取得解，再合并成大问题的解。
贪心算法的典型：
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哈夫曼树
例子：比如钱币分为1元3元4元，要拿6元钱，贪心的话，先拿4，再拿两个1，一共3张钱；实际最优却是两张3元就够了。
区分用动态规划还是贪心：找特例
（8） Top K问题（可以采取的方法有哪些，各自优点？）
1.将输入内容（假设用数组存放）进行完全排序，从中选出排在前K的元素即为所求。有了这个思路，我们可以选择相应的排序算法进行处理，目前来看快速排序，堆排序和归并排序都能达到O(nlogn)的时间复杂度。
2.对输入内容进行部分排序，即只对前K大的元素进行排序（这K个元素即为所求）。此时我们可以选择冒泡排序或选择排序进行处理，即每次冒泡（选择）都能找到所求的一个元素。这类策略的时间复杂度是O(Kn)。
3.对输入内容不进行排序，显而易见，这种策略将会有更好的性能开销。我们此时可以选择两种策略进行处理：
用一个桶来装前k个数，桶里面可以按照最小堆来维护
a)利用最小堆维护一个大小为K的数组，目前该小根堆中的元素是排名前K的数，其中根是最小的数。此后，每次从原数组中取一个元素与根进行比较，如大于根的元素，则将根元素替换并进行堆调整（下沉），即保证小根堆中的元素仍然是排名前K的数，且根元素仍然最小；否则不予处理，取下一个数组元素继续该过程。该算法的时间复杂度是O(nlogK)，一般来说企业中都采用该策略处理top-K问题，因为该算法不需要一次将原数组中的内容全部加载到内存中，而这正是海量数据处理必然会面临的一个关卡。
b)利用快速排序的分划函数找到分划位置K，则其前面的内容即为所求。该算法是一种非常有效的处理方式，时间复杂度是O(n)（证明可以参考算法导论书籍）。对于能一次加载到内存中的数组，该策略非常优秀。
（9） Bitmap的使用，存储和插入方法
BitMap从字面的意思
很多人认为是位图，其实准确的来说，翻译成基于位的映射。
在所有具有性能优化的数据结构中，大家使用最多的就是hash表，是的，在具有定位查找上具有O(1)的常量时间，多么的简洁优美。但是数据量大了，内存就不够了。
当然也可以使用类似外排序来解决问题的，由于要走IO所以时间上又不行。
所谓的Bit-map就是用一个bit位来标记某个元素对应的Value， 而Key即是该元素。由于采用了Bit为单位来存储数据，因此在存储空间方面，可以大大节省。
其实如果你知道计数排序的话（算法导论中有一节讲过），你就会发现这个和计数排序很像。
BitMap应用：排序示例
假设我们要对0-7内的5个元素(4,7,2,5,3)排序（这里假设这些元素没有重复）。那么我们就可以采用Bit-map的方法来达到排序的目的。要表示8个数，我们就只需要8个Bit（1Bytes），首先我们开辟1Byte的空间，将这些空间的所有Bit位都置为0
然后遍历这5个元素，首先第一个元素是4，那么就把4对应的位置为1（可以这样操作 p+(i/8)|(0×01<<(i%8)) 当然了这里的操作涉及到Big-ending和Little-ending的情况，这里默认为Big-ending。不过计算机一般是小端存储的，如intel。小端的话就是将倒数第5位置1）,因为是从零开始的，所以要把第五位置为一（如下图）：
然后再处理第二个元素7，将第八位置为1,，接着再处理第三个元素，一直到最后处理完所有的元素，将相应的位置为1，这时候的内存的Bit位的状态如下：
然后我们现在遍历一遍Bit区域，将该位是一的位的编号输出（2，3，4，5，7），这样就达到了排序的目的。
bitmap排序复杂度分析
Bitmap排序需要的时间复杂度和空间复杂度依赖于数据中最大的数字。
bitmap排序的时间复杂度不是O(N)的，而是取决于待排序数组中的最大值MAX，在实际应用上关系也不大，比如我开10个线程去读byte数组，那么复杂度为:O(Max/10)。也就是要是读取的，可以用多线程的方式去读取。时间复杂度方面也是O(Max/n)，其中Max为byte[]数组的大小，n为线程大小。
空间复杂度应该就是O(Max/8)bytes吧
BitMap算法流程
假设需要排序或者查找的最大数MAX=10000000（lz:这里MAX应该是最大的数而不是int数据的总数！），那么我们需要申请内存空间的大小为int a[1 + MAX/32]。
其中：a[0]在内存中占32为可以对应十进制数0-31，依次类推：
bitmap表为：
a[0]--------->0-31
a[1]--------->32-63
a[2]--------->64-95
a[3]--------->96-127
…
我们要把一个整数N映射到Bit-Map中去，首先要确定把这个N Mapping到哪一个数组元素中去，即确定映射元素的index。我们用int类型的数组作为map的元素，这样我们就知道了一个元素能够表示的数字个数(这里是32)。于是N/32就可以知道我们需要映射的key了。所以余下来的那个N%32就是要映射到的位数。
1.求十进制数对应在数组a中的下标：
先由十进制数n转换为与32的余可转化为对应在数组a中的下标。
如十进制数0-31，都应该对应在a[0]中，比如n=24,那么 n/32=0，则24对应在数组a中的下标为0。又比如n=60,那么n/32=1，则60对应在数组a中的下标为1，同理可以计算0-N在数组a中的下标。
i = N>>K % 结果就是N/(2^K)
Note: map的范围是[0, 原数组最大的数对应的2的整次方数-1]。
2.求十进制数对应数组元素a[i]在0-31中的位m：
十进制数0-31就对应0-31，而32-63则对应也是0-31，即给定一个数n可以通过模32求得对应0-31中的数。
m = n & ((1 << K) - 1) %结果就是n%(2^K)
3.利用移位0-31使得对应第m个bit位为1
如a[i]的第m位置1：a[i] = a[i] | (1<<m)
如：将当前4对应的bit位置1的话，只需要1左移4位与B[0] | 即可。
BitMap算法评价
优点：
1. 运算效率高，不进行比较和移位；
2. 占用内存少，比如最大的数MAX=10000000；只需占用内存为MAX/8=1250000Byte=1.25M。
3.
缺点：
1. 所有的数据不能重复，即不可对重复的数据进行排序。（少量重复数据查找还是可以的，用2-bitmap）。
2. 当数据类似（1，1000，10万）只有3个数据的时候，用bitmap时间复杂度和空间复杂度相当大，只有当数据比较密集时才有优势。
为什么要使用红黑树，B树和B+树
B/B+树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种平衡多路查找树(相对于二叉,B树每个内节点有多个分支),与红黑树相比,在相同的的节点的情况下,一颗B/B+树的高度远远小于红黑树的高度(在下面B/B+树的性能分析中会提到).B/B+树上操作的时间通常由存取磁盘的时间和CPU计算时间这两部分构成,而CPU的速度非常快,所以B树的操作效率取决于访问磁盘的次数,关键字总数相同的情况下B树的高度越小，磁盘I/O所花的时间越少.
数据库索引采用B+树的主要原因是:B树在提高了IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题,正是为了解决这个问题,B+树应用而生.B+树只需要去遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历.而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。
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一、并查集原理
话说在江湖上有很多门派，这些门派相互争夺武林霸主。毕竟是江湖中人，两个人见面一言不合就开干。但是打归打，总是要判断一下是不是自己人，免得误伤。
于是乎，分了各种各样的门派，比如说张无忌和杨过俩人要打架，就先看看是不是同一门派的，不是的话那就再开干。要是张无忌和杨过觉得俩人合得来，那就合并门派。
而且规定了，每一个门派都有一个掌门人，比如武当派就是张三丰。华山派就是岳不群等等。
现在我们把目光转到并查集上。
（1）张无忌和杨过打架之前，先判断是否是同一门派，这就涉及到了并查集的查找操作。
（2）张无忌和杨过觉得俩人合得来，那就合并门派，这就涉及到了并查集的合并操作。
（3）每一个门派都有一个掌门人，这涉及到了并查集的存储方式。掌门人代表了这个门派的根节点。
现在我们从这个例子的思想开始认识一下并查集。