GDCPC 2018

原题选手或成最大赢家。

A: Chika’s Math Homework

题目大意

$1\leq T\leq 10^5, 1\leq n \leq 10^{18}$，求

$$\sum_{i=0}^n i^2C_n^i$$

题解

比赛的时候队友打表找规律大师秒杀。。太强大了。
可以看出来原式就是$n(n+1)2^{n-2}$。快速幂即可。

B: Letter Kingdom

题目大意

一个有向图有$n(2\leq n\leq 26)$个点，$n$条边，每个点有唯一一条出边，有$m(1\leq m\leq 2\times 10^5)$个士兵分布在各个点，有$q(1\leq q\leq 2\times 10^5)$次询问，可以是将编号在$[l,r]$内的士兵沿出边走到相邻点，或者是将编号是$x$的倍数的士兵沿出边走到相邻点，或者查询某个士兵现在在那个点。

题解

因为有向图每个点只有一条出边，因此从一个点出发必定会进入一个环，也就是一个环带一个尾巴的那种。所以我们预处理出来每个点出发走多少次能到那些点。
对于第一种操作，我们用树状数组维护每个士兵走了多少次，对于第二种操作，因为一个数的因数很少，我们每次标记$x$，那么在第三种操作查询的时候直接暴力$O(\sqrt n)$时间找到$n$的所有因数，统计一次，加上树状数组维护的值就可以知道这个士兵走了多少次了，也就知道走到哪个点。

C: Xor Tree

题目大意

给定一棵树，$1\leq n\leq 2\times 10^5$，1为根节点，每个点有一个正的权值，$m(1\leq m\leq 2\times 10^5)$次询问，查询$u$到$v$路径上点权值与$x$的异或值最大为多少。

题解

我们先考虑序列上的情况。给定一个序列，我们每次查询区间上的数与x的异或值最大为多少。我们可以想到可持久化Trie。这样我们可以方便地得到区间的Trie，那么我们通过贪心就可以得到异或值的最大值了（即每次尽量走相反的位）。那么树上的话，树链剖分就可以解决了。
码力题。。不过30min还是能写完的。

D: Bipartite Coloring

题目大意

给定一个二分图，每个点的权值，以及点集$V$的两个不相交子集$B_1,B_2$，

E: Lottery

题目大意

给定$P(2\leq P\leq 10^{14})$，求$2\leq m\leq n, n\geq P$，使得$\frac{m}{n}\times \frac{m-1}{n-1}=\frac{1}{2}$。

题解

我们变换一下形式（我们令$m$为自变量）：

$$\begin{align} &\frac{m}{n}\times \frac{m-1}{n-1}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow& 2m(m-1)=n(n-1)\\ \Rightarrow& 2m^2-2m=n^2-n\\ \Rightarrow& 2m^2-2m-n^2+n=0\\ \therefore& \Delta= \end{align}$$

F: Find the Number

题目大意

有$1..n$，$n(1\leq n\leq 10^9)$个数字，C心里想一个数字$x$，A和B轮流询问C，$x$是否大于某个数，C会回答是或者不是，然后对于A和B，$x$所在的范围就会缩小，直到区间长度为1的时候此时的人赢。

题解

令$f_i$表示剩下的$x$所在的可能区间的长度为i时的先手胜率，那么有：

$$f_i=\max\{\frac{j}{i}\times(1-f_j)+\frac{i-j}{i}\times (1-f_{i-j})\}$$
令 $g_i=if_i$，那么有 $g_i=\max\{i-g_j-g_{i-j}\}$。打表可以发现：
$$g_i=\left\{ \begin{aligned} &\frac i2+2, & i \text{ mod } 4 = 0\\ &\frac{i-2}{2}, & i \text{ mod } 4 = 2\\ &\frac{i+1}{2}, & i \text{ mod } 2 = 1 \end{aligned} \right.$$

G: Commemorate

BZOJ 3514…

题目大意

N个点M条边的无向图，多次询问保留图中编号在$[l,r]$的边的时候图中的联通块个数。

H: Number String

题目大意

给定各个元素在$[1..9]$内的正整数序列，长度$n(1\leq n\leq 5\times 10^6)$。现在你可以使用两种操作：删掉一个数，或者合并两个相邻的数为两数的和（要求和不超过9），找到经过一些操作后能得到的字典序最大的序列，且操作次数最少。
如：182736，合并18，27，36得到999，操作次数为3。如6723，删去6，合并72得到93，操作次数为2。如67211，合并62，11得到92，操作次数为2。如900，不进行任何操作。

题解

贪心：我们从左到右扫，扫过的区间$[l,r]$如果恰好就可以组合出可以组合得到的最大的数（也就是说能组合得到$[l,n]$能组合到的最大的数的情况下$r$最小），那么将这个区间直接替换成最大的数，就可以了。

I: Convex Hull

题目大意

有不超过10组数据，有$n(3\leq n\leq 1000)$个点（$0\leq x_i,y_i\leq 10000$），令为$A_0,A_1,\cdots,A_{n-1}$，以逆时针方向排序。一个点$P$是好的当$\sum_{i=0}^{n-1} S_{\Delta PA_iA_{(i+1) \% n}}=w$，如果设这些点的凸包面积为$S$，那么有$1.1S<w<1.2S$。现在你需要计算所有$P$围成的区域的面积，精度2位小数。

J: Maximum $\times$ Minimum

题目大意

给定序列$\{a_n\}(1\leq n\leq 10^5)$，求

$$\sum_{l=1}^n \sum_{r=l}^n \max\{a_l,a_{l+1},\cdots,a_r\}\times \min\{a_l,a_{l+1},\cdots,a_r\}$$
对 $10^9+7$的模。

题解

我们计算出所有点作为最大值的区间和最小值的区间。然后线段树7个域暴力搞一发，舒服。