【Educational Codeforces Round 87 (Rated for Div. 2)】前4题

<前言>

时间\(2020.05.18\)，写出三题，罚时C1一次（大号）。小号无罚时。（过于真实

无rating。

只含前4题因为我只会前4题。

<考试过程>

A题上来先秒为敬。小号交一发没问题，稍微改改大号走起。

B稍微想了一下就发现了（真tm妙）规律，然后小号一发就A，大号走起。

目前为止十分顺利，小号都一遍A。

C1直接tm就没了。自己手推的公式全部错的，最后还得借助循环计算（白嫖\(jh\)代码）。然后觉得稳了，直接交大号。

\[Wrong\ Answer\ On\ Test\ 3 \]

绝啦！

稍微改了一下，小号试水，tm直接A了，大号稍微改一下就A了。

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然后C2，剩下时间都在想。不知不觉考试结束。

Solution

A. Alarm Clock

题目大意

一个人睡着后\(b\)分钟，第一个闹钟响了把他吵醒。我们假设只有闹钟能叫醒他。

他起床后，他可以继续睡或起床。若总睡眠时间不到\(a\)分钟，则他会定一个\(c\)分钟后响的闹钟，然后睡觉，睡着需要花费\(d\)分钟。

问多久之后能睡满\(a\)分钟起床。若不能到\(a\)分钟则输出\(-1\).

Answer

\(sb\)题，首先判断第一次醒来时到了a分钟没有，如果到了起床，没到继续睡。

如果继续睡，判断c是否大于d，若不是则输出\(-1\),否则计算每次能睡多久，剩下时间\(b-a\)除去这个次数向上取整就是定\(c\)分钟闹钟的个数。所以这个数乘\(c\)即可。

整一个特判题。

\(\mathrm{Code:}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a, b, c, d;
int read()
{
    int s = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    while((c < '0' || c > '9') && c != '-')
        c = getchar();
    if(c == '-')w = -1, c = getchar();
    while(c <= '9' && c >= '0')
        s = (s << 3) + (s << 1) + c - '0', c = getchar();
    return s * w;
}
void write(int x)
{
    if(x > 9)write(x / 10);
    putchar(x % 10 + 48);
}
void work()
{
    int ans = 0;
    a = read();
    b = read();
    c = read();
    d = read();
    if(a <= b)
    {
        write(b);
        putchar(10);
        return ;
    }
    ans += b;
    if(d >= c)
    {
        puts("-1");
        return ;
    }
    int t = a - b;
    ans += ((t + c - d - 1) / (c - d) * c);
    write(ans);
    putchar(10);
}
main()
{
    int T = read();
    while(T--)
        work();
    return 0;
}

B. Ternary String

题目大意

每次给出一串只含1、2、3的数，问能够包括至少一个1、2、3的最短区间长度。

Answer

我们发现连续相同的数字有很多，进而想到这是\(n\leq200000\)时必然的结果，因为若不多，则随便枚举。

然后就好办了，把一串相同的数压缩一下，记录每段连续个数。

然后我们三位三位去找1、2、3，可以证明如果有解一定会被我们找到。我们发现一组1、2、3的答案就是处在中间的数的个数+2，即左右各取一个数，中间全取。

For example：
111222233
压缩后1(3)2(4)3(2)
答案为2全取，1、3各取一个。

\(\mathrm{Code:}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 200010
using namespace std;
int n, a[N] = {};
int read()
{
    int s = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    while((c < '0' || c > '9') && c != '-')
        c = getchar();
    if(c == '-')w = -1, c = getchar();
    while(c <= '9' && c >= '0')
        s = (s << 3) + (s << 1) + c - '0', c = getchar();
    return s * w;
}
int cnt[N] = {};
void write(int x)
{
    if(x > 9)write(x / 10);
    putchar(x % 10 + 48);
}
void init()
{
    n = 0;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    char c = getchar();
    while(c < '1' || c > '3')c = getchar();
    while(c <= '3' && c >= '1')
    {
        int t = c - '0';
        if(t == a[n])++cnt[n];
        else a[++n] = t, cnt[n] = 1;
        c = getchar();
    }
}
void work()
{
    int t[4] = {}, minn = INT_MAX;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        t[1] = t[2] = t[3] = 0;
        for(int j = i; j <= i + 2; ++j)
            t[a[j]] = 1;
        if(!t[1] || !t[2] || !t[3])continue;
        minn = min(minn, cnt[i + 1] + 2);
    }
    write(minn >= INT_MAX ? 0 : minn);
    putchar(10);
}
main()
{
    int T = read();
    while(T--)
    {
        init();
        work();
    }
    return 0;
}

C1. Simple Polygon Embedding

题目大意

这个问题的表述和C2的表述是一样的。唯一的区别是，在问题C1中，n总是偶数，在问题C2中，n总是奇数。

给出\(n\),要把点数为\(2*n\)的正多边形塞到一个正方形里，允许旋转。求这个正方形的最小边长。

Answer

这题就说来话长了。。。。

提供两种做法。

直接计算法

先上图

你发现我们计算得就是类似这种东西（次长对角线），每次往下偏转一个外角的角度，而每段的贡献是\(cos(β)\).

已知外角为\(\frac{2π}{2n}=\frac{π}{n}\)，其中\(π=acos(-1)\),c++自带三角函数计算库。

那么容易发现答案为

\[ans=2(\frac{1}{2}+\sum_{i=1}^{n/2}cos(i*\frac{π}{n})) \]

\(\mathrm{Code:}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
int read()
{
    int s = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    while((c < '0' || c > '9') && c != '-')
        c = getchar();
    if(c == '-')w = -1, c = getchar();
    while(c <= '9' && c >= '0')
        s = (s << 3) + (s << 1) + c - '0', c = getchar();
    return s * w;
}
void write(int x)
{
    if(x > 9)write(x / 10);
    putchar(x % 10 + 48);
}
double ans = 0.0;
void work()
{
    n = read();
    ans = 0.0;
    double t = acos(-1) / n;
    for(int i = 1; i < n / 2; ++i)ans += cos(t * i);
    printf("%.10lf\n", 1 + (ans * 2));
}
main()
{
    int T = read();
    while(T--)
        work();
    return 0;
}

数学公式法

我们试图用公式简洁地\(O(1)\)计算答案。

观察下图：

根据圆的有关知识，我们发现\(β=α=\frac{π}{n}\)，这个例子中外角为\(30°\)

答案为线段\(K_3D_3\)，我们已知\(K_3J_3=1\)，而\(∠K_3D_3J_3=\frac{1}{2}∠K_3D_3I_3=\frac{π}{2n}\)然后就可以计算

\[ans=\frac{1}{tan(\frac{α}{2})}=\frac{1}{tan(\frac{π}{2n})} \]

\(\mathrm{Code:}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
int read()
{
    int s = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    while((c < '0' || c > '9') && c != '-')
        c = getchar();
    if(c == '-')w = -1, c = getchar();
    while(c <= '9' && c >= '0')
        s = (s << 3) + (s << 1) + c - '0', c = getchar();
    return s * w;
}
double ans = 0.0, pi = acos(-1);
void work()
{
    n = read();
    printf("%.10lf\n", 1 / tan(pi / 2 / n));
}
main()
{
    int T = read();
    while(T--)
        work();
    return 0;
}

这就完啦！

C2. Not So Simple Polygon Embedding

题目大意

见C1

Answer

这题，同样我们有两种写法，直接计算和公式计算。

但是我还得讲讲自己当时的思路。

在此之前得先说说什么情况最优

最优情况

对于任意奇数的n，逆时针倾斜45°是最优情况。如图

若继续旋转，会使\(TQ\)占用更长，所需正方形边长更长，故不优。

而往回转一点，就会使\(SP\)占用更长，所以现在这种情况就是最优。

直接计算

我们把每个\(ans\)拆成两部分分别直接计算。如上图中的\(UV=UP+PV\)

具体推导和C1差不多，就不讲了，挺暴力的。

\(\mathrm{Code:}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int read()
{
    int s = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    while((c < '0' || c > '9') && c != '-')
        c = getchar();
    if(c == '-')w = -1, c = getchar();
    while(c <= '9' && c >= '0')
        s = (s << 3) + (s << 1) + c - '0', c = getchar();
    return s * w;
}
double ans = 0.0, pi = acos(-1);
void work()
{
    n = read();
    ans = 0.0;
    double t = pi / 4;
    while(-(pi / 2 + 1e-7) <= t)t -= pi / n;
    t += pi / n;
    while(pi / 2 + 1e-7 >= t)ans += cos(t), t += pi / n;
    printf("%.10lf\n", ans);
}
signed main()
{
    int T = read();
    while(T--)
        work();
    return 0;
}

数学推导1

我考场上没有写出来这题，但是当时考虑了很多，包括接下来推导的两个式子，但是出了一些问题。。。导致直接没掉。

下面是我考试的时候的推导，想要简单易懂的推导请下翻。

这题，我们直接~~霸王硬上弓~~画图解决

你看这幅图，我们设\(Q_1P_1\)为\(x\),\(P_1R_1\)为\(y\)，则\(ans=x+y\).此时我们再找找有什么等量关系。

我们发现\(L_1P_1=\sqrt{2}x,P_1E_1=\sqrt{2}y\),然后\(L_1E_1\)可求，设为\(a\)

可列出

\[\begin{aligned} &2(x^2+y^2)=a^2\\ &=>x^2+y^2=\frac{a^2}{2} \end{aligned} \]

然后我们要求出\(x+y\),则需求出\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) 即需再求出\(xy\)

在矩形\(L_1P_1E_1I_1\)中，可知\(2xy=\frac{L_1E_1\times H_1P_1}{2}\) 其中C1中我们讨论过\(H_1P_1\)求法即\(\frac{1}{tan(\frac{π}{2n})}\)，而\(L_1P_1=\frac{H_1P_1}{cos(\frac{π}{4n})}=\frac{1}{sin(\frac{π}{2n})}\)，然后

\[\begin{aligned} &ans=\sqrt{x^2+y^2+2xy}=\sqrt{\frac{1}{2sin^2(\frac{π}{2n})}+\frac{cos(\frac{π}{2n})}{sin^2(\frac{π}{2n})}}\\ &=\sqrt{\frac{cos^2(\frac{π}{4n})}{sin^2(\frac{π}{2n})}}=\frac{cos(\frac{π}{4n})}{2sin(\frac{π}{4n})cos(\frac{π}{4n})}=\frac{1}{2sin(\frac{π}{4n})} \end{aligned} \]

以上为复杂方法，我考试的时候推得。（虽然当时把sin和tan搞反了结果一直死）

够\(sb\)吧？

下面是简便推导。

数学方法2（simple）

直接画图

我们看到上图，决定从角出发，易得\(∠RSW=π-\frac{π}{4}-∠TSR=\frac{3π}{4}-(π-\frac{π}{n})=\frac{π}{4n}\),

再由\(∠PSR=\frac{π-\frac{π}{n}}{2}\)，所以\(∠PSA_1=\frac{π}{2}-\frac{π}{4n}\ =>∠SPA_1=\frac{π}{4n}\)

然后直接tm绝啦，

\[ans=PA_1=\frac{cos(\frac{π}{4n})}{sin(\frac{π}{2n})}=\frac{1}{2sin(\frac{π}{4n})} \]

我觉得写得够易懂了。

差不多没了。

题外话：

当时推出等价的式子很多，什么\(cos(\frac{π}{4}) \times (1 + \frac{1}{tan(\frac{π}{2n})})\),甚至没化简就瞎计算。

我也是服了自己。

\(\mathrm{Code:}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int read()
{
    int s = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    while((c < '0' || c > '9') && c != '-')
        c = getchar();
    if(c == '-')w = -1, c = getchar();
    while(c <= '9' && c >= '0')
        s = (s << 3) + (s << 1) + c - '0', c = getchar();
    return s * w;
}
double pi = acos(-1);
void work()
{
    n = read();
    printf("%.10lf\n", 0.5 / sin(0.25 * pi / n));
}
signed main()
{
    int T = read();
    while(T--)
        work();
    return 0;
}

<后记>

我觉得挺好

神\(tmsb\)结论题，真的是太\(tm\)有意思了。

听说D题\(sb\)数据结构，我看了一下，权值线段树，大概会了

。。。

妙啊。