探讨|一道三角复合函数题目的思辨

前言

题目列举

案例 已知\(f(\sin x)=\cos15x\)，求\(f(\cos x)\)的值【】

$A.\sin15x$ $B.-\sin15x$ $C.\cos15x$ $D.-\cos15x$

网上解法：由于\(\cos x=\sin(\cfrac{\pi}{2}-x)\)，\(f(\sin x)=\cos15x\)，

故\(f(\cos x)=f[\sin(\cfrac{\pi}{2}-x)]=\cos15(\cfrac{\pi}{2}-x)\)

\(=\cos(7\pi+\cfrac{\pi}{2}-15x)=-cos(\cfrac{\pi}{2}-15x)=-\sin15x\)；故选\(B\)；

有人质疑：由于\(\cos x=\sin(\cfrac{\pi}{2}+x)\)，\(f(\sin x)=\cos15x\)，

故\(f(\cos x)=f[\sin(\cfrac{\pi}{2}+x)]=\cos15(\cfrac{\pi}{2}+x)\)

\(=\cos(7\pi+\cfrac{\pi}{2}+15x)=-cos(\cfrac{\pi}{2}+15x)=\sin15x\)；故也可选\(A\)；

也有人解释：选择选项\(A\)，\(B\)都对；

[问题]上述的解法，到底哪个是正确的，如何解释？

[思辨]:由于\(f(\sin x)=\cos15x\)，\(x\in R\)，令\(x=0\)，则\(\sin0=0\)，

故\(f(\sin x)=f(\sin0)=f(0)=\cos15\times 0=1\)，按照这样的解释，

令\(x=\cfrac{\pi}{2}\)，则\(\cos \cfrac{\pi}{2}=0\)，故\(f(\cos \cfrac{\pi}{2})=f(0)=1\)，

又当\(x=\cfrac{\pi}{2}\)，由于\(-\sin x=-\sin 15\times \cos \cfrac{\pi}{2}=-(-1)=1\)，而\(\sin x=\sin 15\times \cos \cfrac{\pi}{2}=-1\)，