[OO] JML系列 优化及时间复杂度可行性证明

JML系列 优化及时间复杂度可行性证明

符号定义

符号	意义	上限
$p$	网络中Person数量	800
$r$	网络中关系数量	3000
$q_s$	查询queryStrongLinked数量	20
$q_r$	查询queryNameRank数量	1000
$q_b$	查询queryBlockSum数量	3000
$q_a$	查询queryAgeSum数量	3000
$q_m$	查询queryMinPath数量	3000

优化方法与复杂度分析

queryBlockSum

• 由于不需要删除操作，故采用并查集实现
• 并查集单次操作的均摊复杂度为 $O(\alpha(n))$，其中 $\alpha$为一个Ackerman函数相关的，这里可以认为小于常数 $4$
• 每次查询时需遍历每个Person，时间复杂度 $O(\alpha p)$
• 动态维护加边的复杂度 $O(\alpha r)$
• 总时间复杂度 $O(\alpha p q_b+\alpha r)$上限小于 $1\times10^7$，稳妥

queryAgeSum

• 采用直接暴力枚举Person进行计数的方法
• 时间复杂度为 $O(q_a p)$，上限 $2.4\times10^6$，稳妥

queryNameRank

• 采用每次查询直接暴力统计的方法
• 时间复杂度 $O(q_r p)$，上限 $8\times10^5$，稳妥

queryMinPath

• 采用堆优化Dijkstra算法，因为不需要处理负环
• 单次单源最短路径时间复杂度 $O((p+r)logr)$
• 总体时间复杂度为 $O(q_m (p+r)logr)$，上限较大，但由于总指令数限制，还满足关系 $q_m+p+r\le3000$，求极值可估计真实复杂度上限小于 $2.5\times10^7$
• 注意此题不写堆优化上限可达 $1\times10^9$大概率被卡
• 另外spfa已死，不卡是情分，卡是本分，参考NOI2018Day1T1，这本来也是一种及其不稳定的算法

queryStrongLinked

暴力枚举

• 这种做法需要两步bfs/dfs
• 第一次判断连通后，枚举去掉所有割点再次bfs判断是否仍然联通，如果都能联通，说明这两个点点双连通
• 这里的枚举割点是准确条件，但实现的时候如果不想再写一个找割点的算法（还是Tarjan），可以用枚举所有点替代
• 第二次bfs采用MASK的方法加速，不需要修改原图
• 总时间复杂度 $O(q_s p(p+r))$时间复杂度上限可达 $4.8\times10^7$，应该能过，但有些小小的危险，如果具体实现太丑有可能被卡常，不过相信课程组是善良的
• 【更新】：经大佬指点，发现只需要MASK第一次bfs找到的路径上的非首尾点，原因在于双连通是为了找第二条除首尾外无重复节点的路径，MASK第一条路径后如果还能连通，那么必然双连通，复杂度降低为 $O(2q_s (p+r))$，上限在 $1.2\times10^5$，稳妥地过！

点双连通分量

• 大致思路采用Tarjan找点双连通分量，再判断两个点是否具有相同编号（只是大致思路）
• 单次Tarjan就是dfs的复杂度 $O(p+r)$
• 判断是否双连通复杂度 $O(p)$
• 时间复杂度 $O(q_s (2p+r))$上限小于 $1\times10^5$，稳妥
• 需要注意这种做法一定要多做测试！！！

其他

• 前两次作业的此处省略，没必要写的也省略
• 如有错误还请指正