电机学变压器涉及公式学习笔记(待补全)

变压器涉及公式学习笔记

绪论

铁磁材料及其特性

• 铁耗（磁滞损耗与涡流损耗之和）: $p_{fe}=P_{\frac{1}{50}}(\frac{f}{50})^\beta B_m^2G,\beta=1.2\sim1.6,f$为频率。

磁路相关的基本物理定律

• 磁通连续性原理： $\sum\phi=0$。

• 全电流定律： $Hl=Ni,$定义 $Ni$为磁路磁动势，则磁路 $KVL$方程 $F=Ni=Hl$。当磁路存在气隙 $\delta$则 $F=Ni=H_{fe}l_{fe}+H_{\delta}\delta$。

• 磁路欧姆定律与电感：

  • $\begin{cases}F=\phi R_m\\Ni=F=Hl\\\phi=BS\\B=\mu H \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} R_m=\frac{l}{\mu S}\\ \Lambda_m=\frac{\mu S}{l}\end{cases},$铁磁性物质中 $\mu$用 $\mu_{fe}$替代
  • $\psi=N\phi=NF\Lambda_m=N^2i\Lambda_m=Li \ \ \ \Rightarrow L=N^2\Lambda_m$
  • $X=\omega L=\omega N^2\Lambda_m=\omega N^2\frac{\mu S}{l}$

• 电磁感应定律： $e=-\frac{d\psi}{dt}=-N\frac{d\phi}{dt}$

• 能量转换效率： $\eta=\frac{P_2}{P_1}=(1-\frac{\sum p}{P_2+\sum p}),$式中 $P_1$为输入功率 $P_2$为输出功率 $\sum p$为总损耗

变压器的基本工作原理和结构

额定值

• 单相： $S_N=U_{1N}I_{1N}=U_{2N}I_{2N}$
• 三相： $S_N=\sqrt{3}U_{1N}I_{1N}=\sqrt{3}U_{2N}I_{2N}$

变压器的运行分析

空载运行

• 磁场分析与电动势分析：

  • $\dot U_1\rightarrow\dot I_0\rightarrow\dot F_0=N_1\dot I_0\Rightarrow\begin{cases}\dot\phi\rightarrow\begin{cases}e_2=-N_2\frac{d\phi}{dt}\\e_1=-N_1\frac{d\phi}{dt} \end{cases}\\\dot{\phi}_{\sigma_1}\rightarrow e_{\sigma_1}=-N_1\frac{d\phi_{\sigma_1}}{dt} \end{cases}$
  • 主磁通感应电势： $u_0-i_0r_1=e_1+e_{\sigma_1}$
    • $\begin{cases} \phi=\phi_msin\omega t\\e_1=-N_1\frac{d\phi}{dt}\end{cases}\Rightarrow e_1=-N_1\phi_m\omega cos\omega t=\omega N_1\phi_msin(\omega t-\frac{\pi}{2})=E_{1m}sin(\omega t-\frac{\pi}{2})$
    • 相量形式： $\dot{E_1}=\frac{\dot{E_{1m}}}{\sqrt{2}}=-j\frac{\omega N_1\dot\phi_m}{\sqrt{2}}=-j4.44fN_1\dot\phi_m$
  • 漏电动势分析： $\phi_{\sigma_1}=\phi_{\sigma_{1m}}sin\omega t$
    • $e_{\sigma_1}=-N_1\frac{d\phi_{\sigma_1}}{dt}=\omega N_1\phi_{\sigma_{1m}}sin(\omega t-\frac{\pi}{2})=E_{1m}sin(\omega t-\frac{\pi}{2}))$
    • 相量形式： $\dot E_{\sigma_1}=\frac{\dot E_{\sigma_{1m}}}{\sqrt{2}}=-j\frac{\omega N_1\dot\phi_{\sigma_{1m}}}{\sqrt{2}}=-j4.44fN_1\dot\phi_{\sigma_{1m}}$
    • 漏电抗： $\dot E_{\sigma_1}=-j\frac{\omega N_1\dot\phi_{\sigma_{1m}}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\dot{I_0}}{\dot{I_0}}=-j\frac{\omega N_1\phi_{\sigma_{1m}}}{\sqrt{2}I_0}=-j\omega L_{\sigma_1}\dot{I_0}=-jx_1\dot{I_0}$其中 $L_{\sigma_1}=\frac{N_1\phi_{\sigma_{1m}}}{\sqrt{2}I_0}$称为原绕组的漏电感， $x_1=\omega L_{\sigma_1}=\omega N_1^2\Lambda_{\sigma_1}$称为原绕组的漏电抗，其大小不随电流大小变化。
  • 电动势平衡方程式：
    • 原边： $\dot U_1=-\dot E_1-\dot E_{\sigma_1}+\dot I_0r_1=-\dot E_1+\dot I_0(r_1+jx_1)=-\dot{E_1}+\dot{I_0}z_1,z_1$称为原绕组的漏阻抗。
    • 副边：因为空载， $\dot U_{20}=\dot E_2$
    • 空载电流很小所以可认为 $\begin{cases} \dot U_1\approx-\dot E_1\\ U_1\approx E_1=4.44fN_1\phi_m\end{cases}$
  • 变压器变比：定义为原边电动势与副边电动势之比 $k=\frac{E_1}{E_2}=\frac{4.44fN_1\phi_m}{4.44fN_2\phi_m}=\frac{N_1}{N_2}$
  • 空载电流分析
    • 大小： $I_0=\frac{E_1}{\sqrt{r_m^2+x_m^2}}\approx\frac{U_1}{\sqrt{r_m^2+x_m^2}}$
    • 相位： $\dot I_0=\frac{-\dot E_1}{r_m+jx_m}=\frac{-\dot E_1}{|Z_m|}\angle-\psi_0$，由于 $x_m>>r_m$，所以 $\psi_0=tg^{-1}\frac{x_m}{r_m}$接近 $90^。$
  • 空载运行方程式： $\begin{cases} \dot U_1=-\dot E_1+\dot I_0Z_1\\ \dot E_1=-j4.44fN_1\dot\phi_m\\ \dot I_0=\frac{-\dot E_1}{Z_m}\\ \dot E_2=-j4.44fN_2\dot\phi_m\\ \dot U_{20}=\dot E_2 \end{cases}$

负载运行

• 电磁分析及基本方程：

  • 电势分析及电势平衡：

    • $\dot U_1\rightarrow\dot I_1\rightarrow\dot F_1=N_1\dot I_1\rightarrow\phi_{\sigma_1}\rightarrow \dot E_{\sigma_1}\\\dot U_2\rightarrow\dot I_2\rightarrow\dot F_2=N_2\dot I_2\rightarrow\phi_{\sigma_2}\rightarrow \dot E_{\sigma_2}$
    • $\dot F_m=\dot F_1+\dot F_2=N_1\dot I_m\rightarrow\phi_m\rightarrow\begin{cases}\dot E_1\\ \dot E_2\end{cases}$

  • 基本方程：

    • 电动势平衡方程式：

      $\begin{cases}\dot U_1=-(\dot E_1+\dot E_{\sigma_1})+\dot I_1r_1=-\dot E_1+\dot I_1r_1+j\dot I_1x_1=-\dot E_1+\dot I_1z_1\\ \dot U_2=(\dot E_2+\dot E_{\sigma_2})-\dot I_2r_2=\dot E_2-\dot I_2r_2-j\dot I_2x_2=\dot E_2-\dot I_2z_2\\ \dot U_2=\dot I_2z_2\end{cases}$

    • 七个基本方程： $\begin{cases} \dot U_1=-\dot E_1+I_1z_1\\ \dot U_2=\dot E_2-\dot I_2z_2\\ \dot E_1=-j4.44fN_1\phi_m\\ \dot E_2=\dot E_1/k\\ \dot I_1=\dot I_m+(-\dot I_2/k)\\ \dot I_m=-\dot E_1/z_m\\ \dot U_2=\dot I_2Z_L\end{cases}$

• 等效归算规律：

  • 凡是单位为伏特的物理量的归算值等于其原来的 $k$倍，如 $\dot U'=k\dot U$
  • 电流的归算值等于其原来的 $\frac1k$倍，如 $\dot I'=\frac1k\dot I$
  • 凡是单位为欧姆的物理量的归算值等于其原来的 $k^2$倍，及 $Z'=k^2Z$

• 等效归算后的方程： $\begin{cases} \dot U_1=-\dot E_1+I_1z_1\\ \dot U'_2=\dot E'_2-\dot I'_2z'_2\\ \dot E_1=-j4.44fN_1\phi_m\\ \dot E'_2=\dot E_1\\ \dot I_1=\dot I_m+(-\dot I'_2)\\ \dot I_m=-\dot E_1/z_m\\ \dot U'_2=\dot I'_2Z'_L\end{cases}$

• 功率分析： $\begin{cases}P_1=U_1I_1cos\varphi_1=p_{Cu1}+p_{fe}+P_M\\P_2=P_M-p_{cu2}=U'_2I'_2cos\varphi_2\\P_M=E'_2I'_2cos\psi_2\\p_{cu1}=I_1^2r_1\\p_{cu2}=I'^2_2r'_2\\p_{fe}=I_m^2r_m\end{cases}$

参数测定

• 空载实验：

  • 参数计算：
    • $p_{fe}=p_0-p_{cu1}\approx p_0=I_0^2r_m\Rightarrow r_m=\frac{p_0}{I_0^2}$
    • 空载总阻抗： $z_0=z_1+z_m\approx z_m=\frac{U_{1N}}{I_0}$
    • 激磁电抗： $x_m\approx x_0=\sqrt{z_0^2-r_0^2}$
    • $k=\frac{高压边匝数}{低压边匝数}=\frac{高压边电动势}{低压边电动势}\approx\frac{U_{20}}{U_{1N}}$

• 短路实验

  • 参数计算：

    • 负载损耗： $p_k=p_{cu1}+p_{cu2}+p_{fe}\approx p_{cu1}+p_{cu2}$， $I_1=I_{1N}$时，功率损耗为额定的负载损耗 $p_{kN}$，所以稳态短路时 $p_k=p_{cu1}+p_{cu2}+p_{fe}\approx p_{cu1}+p_{cu2}=p_{kN}$

    • 漏阻抗： $z_k=\frac{U_K}{I_K}$

    • 短路电阻： $r_k=\frac{p_k}{I_k^2}$

    • 短路阻抗： $x_k=\sqrt{z_k^2-r_k^2}$

    • 若要分离原副绕组的阻抗值，则 $\begin{cases} r_1=r'_2=\frac{r_k}2\\ x_1=x'_2=\frac{x_k}2\end{cases}$

    • 由于电阻受温度影响，实际油浸电力变压器工作温度为75℃，所以：

      $\begin{cases} r_{k75℃}=r_k\frac{235+75}{235+\theta}\\ z_{k75℃}=\sqrt{r^2_{75℃}+x_k^2}\end{cases}$

• 三相变压器计算激磁阻抗时应用一相的功率，电压，电流计算

变压器运行性能

• 阻抗电压： $u_k=\frac{I_{1N}Z_{k75℃}}{U_{1N}}\cdot 100％=\frac{Z_{k75℃}}{Z_{1N}}=Z^*_{k75℃}\\u_{kr}=\frac{I_{1N}r_{k75℃}}{U_{1N}}\cdot 100％=r^*_{k75℃}\\u_{kx}=\frac{I_{1N}x_k}{U_{1N}}\cdot 100％=x^*_k$

• 电压调整率：

  • 定义： $\Delta U=\frac{U_{20}-U_2}{U_{2N}}\cdot100％=\frac{U_{2N}-U_2}{U_{2N}}\cdot100％=\frac{U'_{2N}-U'_2}{U'_{2N}}\cdot100％=\frac{U_{1N}-U'_2}{U_{1N}}\cdot100％$
  • 由一般变压器 $\varphi_1\approx\varphi_2$可得： $\Delta U\approx\frac{I_1r_kcos\varphi_2+I_1x_ksin\varphi_2}{U_{1N}}=\beta u_{kr}cos\varphi_2+\beta u_{kx}sin\varphi_2$，其中 $\beta=\frac{I_1}{I_{1N}}=\frac{I_2}{I_{2N}}$

• 变压器损耗与效率：

  • 效率： $\eta=\frac{P_1}{P_2}\cdot100％=(1-\frac{p_{fe}+p_{cu}}{p_2+p_{fe}+p_{cu}})\cdot100％$

  • 假定：

    • 计算 $P_2$时忽略负载时 $U_2$的变化。即：

      $P_2=U_2I_2cos\varphi_2\approx U_{2N}I_{2N}(\frac{I_2}{I_{2N}})cos\varphi_2=\beta S_Ncos\varphi_2$

    • 认为空载到负载，主磁通基本不变且忽略空载铜耗的影响：

      $p_{fe}=P_0=常数$

    • 认为额定负载时的负载损耗等于额定电流时的短路损耗，稳态短路实验室外电压低磁密小，故忽略铁耗：

      $p_{cu}=I_1^2r_k=(\frac{I_1}{I_{1N}})^2I_{1N}^2r_k=\beta p_{kN}$

    • 从而 $\eta=(1-\frac{p_0+\beta^2p_{kN}}{\beta S_Ncos\varphi_2+p_0+\beta^2p_{kN}})\cdot100％$

    • 令 $\frac{d\eta}{d\beta}=0$

      • 则最大值条件为： $p_0=\beta^2p_{kN}或\beta=\sqrt{\frac{p_0}{p_{kN}}}$

      • 最大值为：
        $\eta_{max}=[1-\frac{2p_0}{\sqrt{\frac{p_0}{p_{kN}}}S_Ncos\varphi_2+2p_0}]$