RSA及在区块链中的应用

一、密钥生成

1. 随机生成两个大的素数 p 和 q ；
2. 计算 n = pq, φ(n) = (p - 1)(q - 1), 销毁 p 和 q ；
3. 随机生成 e ，满足 (e, φ(n)) = 1（e, φ(n)“互为质数”）;
4. 计算 d 满足 ed mod φ(n) = 1 ，即 ed - 1 能够被 φ(n) 完全整除；
5. 公钥是 (n , e)，私钥为 (n , d)。

显然，由于对n做素因子分解很难，所以由公钥计算出私钥也很难。

二、加密/解密算法

上述给出 (n , e) 和 (n , d)。

1. 加密：由 c = m^e mod n 将明文m转变为密文c（ 即：当 m^e 除以 n 所得的余数）。注意：m < n（如果需要，则分块）
2. 解密：m = c^d mod n （即：c^d 除以 n 所得的余数）。
3. 核心思想： $m=(\underbrace{m^{e} \bmod n}_{c})^{d} \bmod n$
4. 由欧拉定理可知：当 gcd(a , N) = 1 时，有 $a^{\varphi(N)} \bmod N=1$。于是在RSA中有：
   ① N = pq
   ② $\varphi(N)=(p-1)(q-1)$
   ③ 选择整数 e 和 d ，d 为 e 关于模 φ(n) 的模反元素
   ④ $e \cdot d=1+k \cdot \varphi(N)(k>0, k \in Z)$，于是有：
   $\begin{aligned} C^{d}=&\left(M^{e}\right)^{d}=M^{1+k \cdot \varphi(N)}=M^{1} \cdot\left(M^{\varphi(N)}\right)^{k} =M^{1} \cdot(1)^{k}=M^{1}=M \bmod N \end{aligned}$

三、举例

1. 选取质数：p = 17 和 q = 11；
2. 计算 n = pq = 17 × 11 = 187；
3. 计算 φ(n) = (p - 1)(q - 1) = 16 × 10 = 160；
4. 选定 e：e = 7 , 使得 gcd(e , 160) = 1；
5. 选定 d：de = 1 mod 160 且 d < 160 因此确定 d 的值 d = 23，从而有 23 × 7 = 161 = 10 × 160 + 1；
6. 公开公钥 KU = { 7 , 187 }；
7. 保留私钥 KR = { 23 ，17 , 11 }。
8. 给定消息 Ｍ = 88 ( 88 < 187 )
9. 加密：C = 88 ⁷ mod 187 = 11
10. 解密：M = 11²³ mod 187 = 88

四、区块链中的应用

1.密钥分发
若要保护对称加密算法密钥的机密性，那么发送方可用接收方的公钥对消息加密得到密文，将密文发送给接收方，接收方用自己的私钥解密获得消息明文。除了接收方之外的其它人由于不知道私钥，所以不可能破解出消息。
2.身份认证
若要进行身份认证，则发送方用自己的私钥对消息加密，并将得到的密文附于明文之后一同发送给接收方，接收方用发送方的公钥解密，将解密得到的消息与明文消息对比，若一致则认为消息来自于真实的发送方，否则认为消息并非来自真实发送方。这里所说的密文就是所谓的数字签名。其实这么说并不太准确，由于消息可能比较长，所以发送方加密的不是消息本身，而是消息的哈希值。
3.交易数字化
① 签名数字化——身份认证
在上述身份认证的描述中，我们可以看到公钥的作用是公开向外界别标榜自己的身份，而私钥的作用是对消息生成数字签名，用数字签名向外界证明自己的身份与公钥所标榜的身份相符。因此，我们就用公钥作为账户，用私钥对交易信息生成数字签名，来解决了交易中账户和签名的问题。
用户可以按照以下步骤生成自己的账户和交易：
第一步，用RSA生成公钥 (n , e) 和私钥(n , d)，用公钥 (n , e) 作为自己的账号；
第二步，填写交易信息 T ；
第三步，用自己的私钥对交易信息 T 生成数字签名 $s=(H(T))^{d} \bmod n$ ，其中 T 表示一种哈希函数，将 s 加入交易信息，得到最终的交易信息。

字段	值
转出账户	自己的公钥 (n , e)
转入账户	收款人的公钥 (n’ , e’)
金额	1000.00
其它（时间、说明等）	略
数字签名	s

用户创建完交易信息 T ，就可以把它公告给其它用户，试图得到其它用户的认可。收到该消息的任何用户都可以用转出账户（创建交易人的公钥）和数字签名（创建交易人用自己的私钥生成的）来验证该用户是不是该账户的拥有者，有没有权力从该账户转账。
② 账户数字化——唯一性
在上述过程中我们使用公钥解决了签名数字化问题，但整个过程中对账户唯一性问题从未涉及。而区块链确实没有通过任何机制检验新账户的唯一性。
我们使用公钥来作为用户标识，尽管我们没有强制要求账户标识唯一，但公钥的随机性使得账户标识几乎不可能出现重合。
以RSA的密钥生成过程为例。
如果素数 p 和 q 都取1024位，那么 n 和 φ(n) 就都大约是2048位；
若 e 取随机值，由于 ed mod φ(n) = 1 ，那么 d 也是随机值，大约也是2048位。
因此公钥 (e , d) 大约是4096位的随机值；
也就是说，我们使用4096位的随机值作为账户标识的；
所以，出现两个账户标识相同的概率是 $\frac{1}{2^{4096}}$ ；
我们死于小行星撞击地球的概率是7481万分之一。