量化面试题及答案

3月份亏钱了，还有房贷，可是想来想去还是想做股票。也许这就叫做狗改不了吃屎。

空仓，每天做一些题，加深理解，在此做个记录。只为了方便自己看。

对冲和复制
问2.32：看跌期权可以用来做什么？
答：对冲，投机，套利

4月15日：要把握的是确定性（趋势），而不是被波动性牵着鼻子走

The Greeks（期权价格的敏感度）
问2.43：在给定计算价格的方法时，计算Greeks的方法都有哪些，各有那些优缺点？
答：有限差分近似（finite-difference approximation）
路径法(pathwise method)
似然比率(likelihood ratio mehod)

(1)有限差分近似：需要计算给定参数的值（比如现货价格），对给定参数进行微小改变，例如 $\epsilon$大小的改变，再重新计算期权价格。例如令 $F$为收益率， $\theta$为参数，则对敏感度的估计如下：
$\Delta = \frac{f(\theta + \epsilon) - f(\theta)}{\epsilon}$
优点：容易计算，除需要选个合适的 $\epsilon$外需要考虑的少。其本质上是对敏感度的一个有偏估计，这种“有偏”可以通过中心差分估计方法来消除。 $\Delta = \frac{f(\theta + \epsilon)-f(\theta - \epsilon)}{2\epsilon}$
缺点：需要计算三个价格（通常还需要计算 $f(\theta)$），所以计算速度会慢。同时期权价格是离散值，不是连续值时，计算得到的 $\Delta$会很大，约等于 $\epsilon^-1$

（2）路径法
路径法是先得到期权的微分方程，然后在风险中性测度下计算其期望 $\Delta = e^{-rT} \int_{\theta_0}^{\theta_T}f'(\theta_T) \phi(\theta_T,\theta_0)d\theta_T$
$phi(\theta_T,\theta_0)$是 $\theta$在风险中性测度下的密度。
优点：只需要知道 $\theta$就可以计算，无偏估计，比有限差分法更准确
缺点：当期权是非连续的时，计算起来更复杂
（3）似然比率法：和路径法类似。但求的不是期权（payoff）的微分，而是密度的微分。
$\Delta = e^{-rT}\int f(\theta_T)\frac{\Psi}{\phi}(\theta_T)\phi(\theta_T)d\theta_T$
$\Psi$是 $\phi$关于 $\theta$的导数
优点：只需要知道 $\theta$就可以计算价格和敏感度，不需要关注函数是否连续
缺点：需要知道密度函数

问2.44：看涨期权的gamma与时间的关系？
答：gamma（ $\Gamma$）是 $\Delta$的敏感性指标。
$\Gamma_t = \frac{\partial f}{\partial S^2} = \frac{\partial \Delta}{\partial S}$ 根据B-S-M期权定价公式，算出 $\Gamma_t$的值为： $\Gamma_t = \frac{e^{--0.5d_1^2}}{S_t\delta \sqrt{2\pi(T-t)}}$

当 $S_t = Xe^{-(r+1.5\delta^2)(T-t)}$时， $\Gamma_t = \frac{1}{S_t\delta \sqrt{2\pi(T-t)}}$

信息差收费很夸张啊，信息也是钱！

问2.45当股票价格在K1-K2之间时，期权为1，否则为0.怎么理解相应的Vega

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答：Vega用于衡量衍生品的价值对标的资产价格波动率的敏感度，等于衍生品价格对标的资产价格波动率 $\sigma$的偏导数。

期权价值与Vega呈正相关，当持有期权时，持有价值随着Vega的增大而增大，卖出期权（call和put）时，随着Vega的增大受损。

随着Vega的增大，股票价格超出K1和K2边界的概率增大，所以此期权的价值减小。

4月18日：回头来看，期权定价公式也不难啊，当时觉得怎么那么累呢

问：2.47怎么通过看涨和看跌期权构造一个Vega中性组合？
答：首先需要看组合的Vega值。组合的Vega值时所有单个期权工具的Vega值之和。作为持有期权方时Vega为证，卖出期权方时Vega为负。

4月19：越来越有意思了

问：2.55 什么时候用蒙特卡罗方法，什么时候用二叉树？
二叉树的最大优势是易于计算,收敛率为 $\frac{1}{n}$，其中 $n$为step。
缺点:路径依赖

蒙特卡罗的优点：
无路径依赖
缺点：计算量大，收敛速度慢

2.57 Longstaff-Schwartz公式:

专业水平不足，故贴上原英文。

(1)Run a certain number of Monte Carlo paths(e.g.1000) and store the exercise value divided by the numeraire at each exercise date for each path.We also need to store the value of the basis functions at the same points.

(2)With all this data we now look at the second last exercise date.We perform a regression(usually least-square) of the value at the last exercise date against the basis functions.This gives coefficients, $\alpha_i$,for the basis functions

(3)Using these coefficients we can calculate the continuation value at the second last exercise time for each path,using for example $y = \alpha_1x +\alpha_2x^2$

(4)We now replace the deflated exercise value stored initially with the continuation value,if the continuation value is greater.

(5)Continue back through the exercise dates until reaching time 0.The(biased) value of the product will be the average of the time zero values multiplied by the intial numeraire value.

4月20日：概率论

问：3.3有四个盒子，其中一个盒子里有100镑，其他三个为空盒子。每打开一个盒子需要支付X元，打开次数不限，当打开含有英镑的盒子时可以获得奖励。假如这个Game是公平的，应收费X应该是多杀？
答：因为本游戏是公平的，所以玩游戏者的期望成本等于其期望收益。因为游戏是公平的，那么，平均来说，当玩游戏的人至少玩一次时也是不亏损的。