本博文源于北京理工大学的《概率论与数理统计》。内容包含条件概率、乘法定理、概率的独立性、全概率公式、贝叶斯公式。
条件概率
我们称事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概率。记为P(A|B).
引例
例如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，求P(A)和P(A|B).
解析：拿到题目不要慌张，上来设样本空间为S={1,2,3,4,5,6},而A={2}.即P(A)=1/6。已经知道事件B发生，此时的样本空间就变成了B，而B中只有3个元素{2,4,6}。它们的出现是等可能的。因此P(A|B)=1/3.分析到这里会发现P(A)≠P(A|B)
条件概率的本质及公式
条件概率本质
条件概率P(A|B)实质是缩减的样本空间上的事件的概率，由于已知事件B已经发生，试验条件发生了改变，原样本空间S缩减为B，需要在该空间上计算事件A发生的概率。
条件概率公式
条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,满足上面的P(A|B)的公式，那么则称在事件B发生的条件下，事件A的条件概率
条件概率的性质
满足三条公理，非负性、规范性、可列可加性。
条件概率例题
这里用了两种解法：
第一种：按照定义
求出两个事件共同发生的概率，把公式写出来。
分子：
分母：就是第一次取到一等品，第二次我就随意抓取
结果两者合起来，就是2/3.
解法2：
样本空间：三个一等品 1个二等品。第一次 取出一等品那么还剩三个。 这三个分别是：2个一等品 1个二等品。然后第二次取到1等品，那就是2/3.
乘法公式
乘法公式定义
把条件概率的公式P(B)乘出去，就变成了乘法公式。就变成图片下方：
乍一看可能会非常的不起眼，但后面解决问题却能异军突起。因为它解决了抽签的公平性问题。
乘法定理例题
很显然的问题是先抽的运气好，还是后抽的运气好。那就需要用计算来解决了。
只要思考一下就会发现第一个人抽到的概率肯定是1/5，但是第二个人，第三个人呢？如果仅仅靠脑子想，是很难整理出完整的思路。
我们所谈论的第二个人、第三个人…肯定在前面的人没有抽中的基础下进行抽签的，如果前面的人已经抽中，那这个就没有必要进行了。
以此类推，都是1/5也就回答了，抽签是一个很好的决定比赛顺序方式。
独立性
当有条件概率产生，即在B发生情况下A发生的概率，如果B发生对A没有影响，A发生对B发生也没有影响这就会引出两个事件的独立。
独立性的定义
这里的独立性包含两重含义，一定要搞懂。就跟分手的男女一样，互相独立。现实生活中说这是独立，却又没办法做到，但《概率论》可以做到。正所谓：自古情缘留不住，唯有数学得人心。为什么可以得人心?海量数据刻画肖像、智能推荐精准到位、常微分时间序列动态分析。都可以让人清晰的被刻画出来。
独立性性质
同样的独立性可以推广两两变成多个
多个事件独立性
多个事件独立性性质1
若n个事件相互独立，那么其中任意k个事件也相互独立。
多个事件独立性性质2
若n个事件独立，它们的对立事件也独立，两个“立”，对立就是反着做，比如我说硬币能抛出正面，相反的硬币能抛出反面。而独立就是互相不影响，脑中想起游乐王子的“雨我无果”
多个事件独立性性质3
若n个事件相互独立，则对任意的k个事件做集合之间的运算，与剩余事件互相独立。(这种独立好像n维空间做线性运算还在n维空间里，可类比记忆！)
多个事件独立性性质4
这个性质就是前三条性质的推，比如求一个事件不好求，你可以先求他的对立事件，对立事件求完了，1减去就行了。仔细可体会一下。下面是它的证明：
独立性例题
射击在《概率论》里是独立的哟，然后至少一个人不好求，那就求它的对立—都没射中。又因为是独立就可以连乘0.60.50.3。
所以：
独立与互斥的关系
两个事件互斥，它们不独立，
两个事件独立，它们不互斥。
两个事件互斥，且至少有一个概率为0，它们独立
两个事件独立，且至少有一个概率为0，不一定互斥。
全概率公式
谈起全概率貌似跟分而治之的思想一样，总的不好求那就把它拆成若干个相加。比如这种
想算B，那就用各自的A与B的交集进行计算，最后就能算出B的概率。
划分与完备事件组的定义
全概率公式定义
全概率公式例子
这个摸球试验，如果经验老道可以发现先选箱子后选球来做，如果按照正规的方法来看，应该是这样子的：
所以在分析题目的时候，“由原因推结果”每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关，全概率公式表达了它们之间的关系。
贝叶斯公式
引例
已经结果发生的条件下，求某原因发生可能性的大小。先设出结果的事件，然后再设出导致结果的。分子是从三个箱子里取一个的情况下在1号箱取出红球，分母就是全概率的合式完整结果如下：
贝叶斯公式定义
记得在搞马尔科夫链模型的时候，先验概率和后验概率建模整的人非常摸不着头脑。先验概率就是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。
当有了新的信息(知道B发生)，人们就可以对诸事件可能性大小又有了新的认识。
贝叶斯公式练习题
题目1
当我们得知一件商品是合格品的时候，要么就两种，一种是在没调整好的机器产出合格品，一种是在调整好的机器产生合格品。那就是 调整好的机器产生合格品/（没调整好的机器产出合格品+调整好的机器产生合格品），过程就是这样子的
题目2
拿到题目发生跟流行病一样，如果国赛出现这种题目，肯定是可以传染病模型+疗效检验模型。还是要分析这道题目，一个事件检查出是阳性还是只有两种，一种是在无病的人产生阳性，另一种是有病者产生阳性。因此就是(有病得的检查阳性)/（无病阳性+有病阳性）。过程如下：
