1. 问题
选出数组中第k小元素，采用分治算法。
2. 解析
分：将整个数组分为若干相等的块，各个块排序后找到其中位数。再将各个块的中位数集合，形成一个新数组，再次分块，不断分治后得到最终的中位数m。
治：找到m后，将原数组划分为3个组A1,A2,A3，分别包含小于，等于，大于m的元素。这样可以得到3中情况：
- 若A1的元素数量大于等于K，即第K个元素在第一组内：在A1中递归查找第k小元素。
- 若A1、A2元素个数之和大于等于K，即中项m为第K个元素。返回m。
- 第K个元素在第三组：在A3中递归寻找第（k-|A1、A2元素数量之和|）小元素。
3. 设计
n ← high - low + 1----（Θ(1)）
if n < 44 then 将 A 排序 return (A[k])----（Θ(1)）
令 q = ⌊n/5⌋。将 A 分成 q 组，每组5个元素。如果5不整除 n ，则排除剩余的元素。----（Θ(n)）
将 q 组中的每一组单独排序，找出中项。所有中项的集合为 M。----（Θ(n)）
mm ← select(M, 1, q, ⌈q/2⌉) { mm 为中项集合的中项 } ----T(n/5)
将 A[low...high] 分成三组----（Θ(n)）
A1 = { a | a < mm }
A2 = { a | a = mm }
A3 = { a | a > mm }
case
|A1| ≥ k : return select(A1, 1, |A1|, k)
|A1| + |A2| ≥ k : return mm
|A1| + |A2| < k : return select(A3, 1, |A3|, k - |A1| - |A2|)
end case
4. 分析
上图中我们可以看到W区的元素都是小于或等于mm的，令A1’表示小于或等于mm的元素的集合，显然W会是A1’的子集，即A1’的元素数量大于等于W的元素数量。
于是我们有下面这个式子：
由对称性：
即：
解不等式可得n>=44。
现在我们还有了算法运行时间的递推式：
可以算出来T(n)=Θ(n)。
对于求中项的题目也是同样的解法，就是找第（n+1）/2个元素（奇数）和第n/2、n/2+1个元素（偶数）。
5. 源码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#define N 7
void getData(int [], int);
void result_output(int []);
int selectmink1(int a[], int low, int high, int k);
int selectmink2(int a[], int low, int high, int k);
int split(int a[], int low, int high);
int main() {
int a[N], k, r;
getData(a, N); /* 获得数据放入数组a中 */
printf("datas: \n");
result_output(a);
scanf("%d", &k);
--k;
if(k >= 0 && k <= N-1) {
r = selectmink1(a, 0, N - 1, k);
printf("result=%d\n", r);
r = selectmink2(a, 0, N - 1, k);
printf("result=%d\n", r);
} else
printf("input error: k=%d\n", k);
return 0;
}
int selectmink1(int a[], int low, int high, int k) {
int middle;
middle = split(a, low, high);
if(middle == k)
return a[k];
else if(middle < k)
return selectmink1(a, middle+1, high, k);
else /* if(middle > k) */
return selectmink1(a, low, middle-1, k);
}
int selectmink2(int a[], int low, int high, int k) {
int middle;
for(;;) {
middle = split(a, low, high);
if(middle == k)
return a[k];
else if(middle < k)
low = middle+1;
else /* if(middle > k) */
high = middle-1;
}
}
int split(int a[], int low, int high) {
int part_element = a[low];
for (;;) {
while (low < high && part_element <= a[high])
high--;
if (low >= high) break;
a[low++] = a[high];
while (low < high && a[low] <= part_element)
low++;
if (low >= high) break;
a[high--] = a[low];
}
a[high] = part_element;
return high;
}
void getData(int d[], int n) {
time_t t;
srand((unsigned) time(&t)); /* 设置随机数起始值 */
int i;
for(i=0; i < n; i++)
d[i] = rand() % 100; /* 获得0-99之间的整数值 */
}
void result_output(int a[]) {
int i;
for (i = 0; i < N; i++)
printf("%d ", a[i]);
printf("\n");
}