8 数值实现方法

• 数值实现衍生品定价的方法非常重要
• 常用的数值方法:
  • 解析闭形式公式,
  • 二叉树,
  • 有限差分方法
  • 蒙特卡罗模拟
• 能用解析闭形式给出的期权价格不多见,
  • 即使能,也要许多不切实际的假设。不介绍。
• FFT日益成为重要方法。
  • 在下面一章专门介绍。

8.1二叉树

• 二叉树定价模型Sharpe提,然后Cox,Ross和 Rubinstein等完善
• 最先用于美式期权,现仍如此。
• 对无红利的美式看涨,提前执行不是最优,它们可用Black-Scholes公式估价
• 对有红利的美式看涨和看跌,提前执行有可能最优,这取决于标的资产的价格
  • 这些美式期权的价格没有闭形式的解,
  • 须用数值法解Black- Scholes偏微分
• 二叉树模型给出美式期权定价估价的简单直观的数值方法
  • 推广之后,也可用于复杂的期权定价。

 

• 二叉树是对股票价格的连续几何布朗运动过程的有限离散化
• 从现有价格为 $S_0=S$的资产开始,考虑时间 $T$时可能的价格。
• 由一般假设:
  • 资产价格的变化服从一个几何布朗运动,
    • 期望价格分布是连续的
  • 为应用二叉树,需要把价格的连续分布离散化。
• 设时间 $T$时只有两可能: