算法<初级> - 第六章 从原始问题出发的技巧 / 贪心（完结）

算法 第六章 - 从原始问题出发的技巧 / 贪心

题目一：盛最多水的容器

• 题目表述：给你 n 个非负整数 a1，a2，...，an，每个数代表坐标中的一个点 (i, ai) 。在坐标内画 n 条垂直线，垂直线 i 的两个端点分别为 (i, ai) 和 (i, 0)。找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。eg. 输入[1,8,6,2,5,4,8,3,7]，输出49。

• 思路：

  • 预处理数组：省去多余查询的时间成本

  • 双指针：最优解时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

    • 左右各一指针，用来找到最大值，并且计算蓄水量

  • 算法实现（python）

class Solution:
    def maxArea(self, height: List[int]) -> int:
        left,right=0,len(height)-1
        edge_num,edge=[left,right],[height[left],height[right]]
        e_max,wide,high=max(edge),right-left,min(edge)
        max_size=high*wide
        for i in range(len(height)):
            if e_max==edge[0]: #如果左边大
                right-=1
                edge_num,edge=[left,right],[height[left],height[right]]
                e_max,wide,high=max(edge),right-left,min(edge)
                max_size=max(max_size,high*wide)
            else:   #如果右边大
                left+=1
                edge_num,edge=[left,right],[height[left],height[right]]
                e_max,wide,high=max(edge),right-left,min(edge)
                max_size=max(max_size,high*wide)
        return max_size

题目二：连续子序列最大的累加和

• 题目表述：给定一个数组arr，返回所有子数组的累加和中，最大的累加和

• 思路：

  • 设定两个变量Cur和Max，Cur记录现在前缀和的值，Max记录现在前缀和中最大值
  • 遍历数组，如果Cur求和后是负数，则在更新完Max后令Cur为0。
  • 在<算法笔记>中归为动规，实际作为动规不太好理解，题解就是借助原始题目特性。

	public static int maxSum(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length == 0) {
			return 0;
		}
		int max = Integer.MIN_VALUE;
		int cur = 0;
		for (int i = 0; i != arr.length; i++) {
			cur += arr[i];
			max = Math.max(max, cur);
			cur = cur < 0 ? 0 : cur;
		}
		return max;
	}

题目四：判断字符串是否循环右移得到

• 题目表述：给定给两个字符串str1，str2，判断str2是不是str1循环右移得到的。

• 思路：

  • 先判断str1与str2的长度，不等肯定不是右移得到
  • 使用KMP算法判断str2是不是（str1+str1）字符串的子串（等价于判断str2是不是str1循环串，无论左右移）
  • 算法实现（java）

	public static boolean isRotation(String a, String b) {
		if (a == null || b == null || a.length() != b.length()) {
			return false;
		}
		String b2 = b + b;
		return getIndexOf(b2, a) != -1;
	}

	// KMP Algorithm
	public static int getIndexOf(String s, String m) {
		if (s.length() < m.length()) {
			return -1;
		}
		char[] ss = s.toCharArray();
		char[] ms = m.toCharArray();
		int si = 0;
		int mi = 0;
		int[] next = getNextArray(ms);
		while (si < ss.length && mi < ms.length) {
			if (ss[si] == ms[mi]) {
				si++;
				mi++;
			} else if (next[mi] == -1) {
				si++;
			} else {
				mi = next[mi];
			}
		}
		return mi == ms.length ? si - mi : -1;
	}

	public static int[] getNextArray(char[] ms) {
		if (ms.length == 1) {
			return new int[] { -1 };
		}
		int[] next = new int[ms.length];
		next[0] = -1;
		next[1] = 0;
		int pos = 2;
		int cn = 0;
		while (pos < next.length) {
			if (ms[pos - 1] == ms[cn]) {
				next[pos++] = ++cn;
			} else if (cn > 0) {
				cn = next[cn];
			} else {
				next[pos++] = 0;
			}
		}
		return next;
	}

	public static void main(String[] args) {
		String str1 = "yunzuocheng";
		String str2 = "zuochengyun";
		System.out.println(isRotation(str1, str2));

	}

题目五：右移k位后的字符串

• 题目表述：给定一个字符串str和数字k，输出str循环右移k位后的字符串

• 思路：

  • 实际上就是把字符串右边k位和左边序列交换位置，转变为了子序列交换问题
  • 子序列交换问题思路就是先将左右两边分别逆序然后合并，再把整体逆序，就可以得到交换后的数组。

	public static void rotateWord(char[] chas) { //间隔子序列交换问题
		if (chas == null || chas.length == 0) {
			return;
		}
		reverse(chas, 0, chas.length - 1);
		int l = -1;
		int r = -1;
		for (int i = 0; i < chas.length; i++) {
			if (chas[i] != ' ') {
				l = i == 0 || chas[i - 1] == ' ' ? i : l;
				r = i == chas.length - 1 || chas[i + 1] == ' ' ? i : r;
			}
			if (l != -1 && r != -1) {
				reverse(chas, l, r);
				l = -1;
				r = -1;
			}
		}
	}

	public static void reverse(char[] chas, int start, int end) { //逆序
		char tmp = 0;
		while (start < end) {
			tmp = chas[start];
			chas[start] = chas[end];
			chas[end] = tmp;
			start++;
			end--;
		}
	}

	public static void rotate1(char[] chas, int size) {  //右移k位后的字符串
		if (chas == null || size <= 0 || size >= chas.length) {
			return;
		}
		reverse(chas, 0, size - 1);
		reverse(chas, size, chas.length - 1);
		reverse(chas, 0, chas.length - 1);
	}
	
	public static void rotate2(char[] chas, int size) { //右移k位后的字符串 - 第二种
		if (chas == null || size <= 0 || size >= chas.length) {
			return;
		}
		int start = 0;
		int end = chas.length - 1;
		int lpart = size;
		int rpart = chas.length - size;
		int s = Math.min(lpart, rpart);
		int d = lpart - rpart;
		while (true) {
			exchange(chas, start, end, s);
			if (d == 0) {
				break;
			} else if (d > 0) {
				start += s;
				lpart = d;
			} else {
				end -= s;
				rpart = -d;
			}
			s = Math.min(lpart, rpart);
			d = lpart - rpart;
		}
	}

	public static void exchange(char[] chas, int start, int end, int size) {
		int i = end - size + 1;
		char tmp = 0;
		while (size-- != 0) {
			tmp = chas[start];
			chas[start] = chas[i];
			chas[i] = tmp;
			start++;
			i++;
		}
	}
	
    public static void main(String[] args) {
        char[] chas1 = { 'd', 'o', 'g', ' ', 'l', 'o', 'v', 'e', 's', ' ', 'p',
        'i', 'g' };
        System.out.println(String.valueOf(chas1));
        rotateWord(chas1);
        System.out.println(String.valueOf(chas1));

        char[] chas2 = { '1', '2', '3', '4', '5', 'A', 'B', 'C' };
        System.out.println(String.valueOf(chas2));
        rotate1(chas2, 5);
        System.out.println(String.valueOf(chas2));
        rotate2(chas2, 3);
        System.out.println(String.valueOf(chas2));

	}

题目三：生成窗口最大值数组

• 题目表述：有一个整型数组arr和一个大小为w的窗口从数组的最左边滑到最右边，窗口每次向最右边滑一个位置。如果数组长度为n，窗口大小为w，则一共会产生n-w+1个窗口最大值。实现一个函数返回数组res[]，即所有的窗口最大值。

• 思路：

  • 窗口最大/最小值结构：①L,R指针，都只会往右走 ②L永远不会超过R - 就是数网里的滑动窗口，使用双端队列实现

  • 更新规则：L往右减数，R往右加数，双端队列维持严格左大右小的排序；

    • 加数：窗口加数，如果新增加的元素比队列右边的大/等于，则右边弹出，直至放入一个合适的位置（到队空则都弹光再直接入队）。（这样减少了很多时间成本）
    • 减数：窗口减数，如果队列左边的数过期（坐标比L小了），则左边弹出，否则不变。
    • 所有的数都只会进出一次队列，总共时间复杂度O(n)，平均每次更新O(1)

  • 算法实现（java）

	public static int[] getMaxWindow(int[] arr, int w) {
		if (arr == null || w < 1 || arr.length < w) {
			return null;
		}
		LinkedList<Integer> qmax = new LinkedList<Integer>();
		int[] res = new int[arr.length - w + 1];
		int index = 0;
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			while (!qmax.isEmpty() && arr[qmax.peekLast()] <= arr[i]) {
				qmax.pollLast();
			}
			qmax.addLast(i);
			if (qmax.peekFirst() == i - w) {
				qmax.pollFirst();
			}
			if (i >= w - 1) {
				res[index++] = arr[qmax.peekFirst()];
			}
		}
		return res;
	}

	// for test
	public static void printArray(int[] arr) {
		for (int i = 0; i != arr.length; i++) {
			System.out.print(arr[i] + " ");
		}
		System.out.println();
	}

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = { 4, 3, 5, 4, 3, 3, 6, 7 };
		int w = 3;
		printArray(getMaxWindow(arr, w));

	}

题目六：字符串数组最低字典序拼接 - 贪心

• 题目表述：给定一个字符串类型的数组strs，找到一种拼接方式，使得所有字符串拼起来之后形成的字符粗换具有最低的字典序。

• 思路：

  • 字典序：同长度比较从左到右逐位k进制；不同长度，短字符串补0再同前。

  • 错误的贪心策略：单个str字典序小的排前面 - eg. b和ba，如果按照这种排序就是bba，但是实际上最低的是bab

  • 正确的贪心策略：str1+str2的字典序大于str2+str1，则str1在前面。（把这种贪心策略作为比较器的比较方法，然后作为排序的比较器）

    • 贪心策略正确的证明：① 证明排序策略能得到唯一序列 / 排序序列具有传递性 - str1/str2 + str2/str3 -> str1/str3
    • 贪心策略正确的证明：① 证明任意两个str交换都可能会形成更大的字典序 - 相邻两者 / 不相邻两者

  • 算法实现（java）

	public static class MyComparator implements Comparator<String> {
		@Override
		public int compare(String a, String b) {
			return (a + b).compareTo(b + a);
		}
	}

	public static String lowestString(String[] strs) {
		if (strs == null || strs.length == 0) {
			return "";
		}
		Arrays.sort(strs, new MyComparator());
		String res = "";
		for (int i = 0; i < strs.length; i++) {
			res += strs[i];
		}
		return res;
	}

	public static void main(String[] args) {
		String[] strs1 = { "jibw", "ji", "jp", "bw", "jibw" };
		System.out.println(lowestString(strs1));

		String[] strs2 = { "ba", "b" };
		System.out.println(lowestString(strs2));

	}

题目八：会议室宣讲 / 场地活动 - 贪心

• 题目表述：一些项目要占用一个会议室宣讲，会议室不能同时容纳两个项目的宣讲。给予项目开始与结束时间数组，求进行宣讲场次最多的次数。（算法导论上的贪心也有该题）

• 思路：

  • 错误的贪心策略：按照项目最早开始时间 / 最短持续时间
  • 正确的贪心策略：按照项目最早结束时间
  • 算法实现（java）

	public static class Program {
		public int start;
		public int end;

		public Program(int start, int end) {
			this.start = start;
			this.end = end;
		}
	}

	public static class ProgramComparator implements Comparator<Program> {

		@Override
		public int compare(Program o1, Program o2) {
			return o1.end - o2.end;
		}

	}

	public static int bestArrange(Program[] programs, int start) {
		Arrays.sort(programs, new ProgramComparator());
		int result = 0;
		for (int i = 0; i < programs.length; i++) {
			if (start <= programs[i].start) {
				result++;
				start = programs[i].end;
			}
		}
		return result;
	}