程序员面试金典 8.3

Magic Index：如果一个数组A中的索引i满足A[i] = i，则i就是一个魔术索引。给定一个有序数组，查找其中最小的魔术索引，不存在则返回-1。

最简单的方法就是对数据进行一次遍历，这样时间复杂度为O(n)，注意到数组是有序的，所以有可能实现一个O(logn)的算法。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1	2	2	2	3	4	7	9	12	13

在上面的数组中，A[5] = 3，用idx表示索引，elt表示索引对应的元素：

• 如果数组中没有重复元素，那么索引不可能在左边，因为索引减少k时，元素值至少也减少k，所以左边会一直保持idx > elt；同理，如果索引值小于元素值，则右边的idx < elt
• 如果数组中有重复元素，在索引值大于元素值时，左边也可能存在魔术索引，但是魔术索引的上界是3；同理，如果索引值小于元素值右边也可能存在魔术索引，但是魔术索引的下限为5 + 1

注意书上的代码只返回一个就好，所以可以使用二分法，而力扣要求返回索引最小值，所以二分法不一定肯定可以排除一半的。同时力扣上的测试用例有问题，例如下面的用例应该都返回0，而力扣都返回1。

[0, 1, 1]
[0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 7, 9, 12, 13]

class Solution {
public:
    int findMagicIndex(vector<int>& nums) {
        return MagicIndex(nums, 0, nums.size());
    }
private:
    int MagicIndex(const vector<int> &nums, int b, int e)
    {
        int mid = b + (e - b) / 2, ret;
        if(b >= e) return -1;
        //int end = mid <= nums[mid] ? mid : mid;
        ret = MagicIndex(nums, b, mid);
        if(ret != -1) return ret;
        else if(mid == nums[mid]) return mid;
        else{
            int begin = mid < nums[mid] ? nums[mid] : mid + 1;
            return MagicIndex(nums, begin, e);
        }
    }
};