图的简单认识

**1.顶点（vertex）：**图中的数据元素，如图一。

**2.边（edge）：**图中连接这些顶点的线，如图一。

所有的顶点构成一个顶点集合，所有的边构成边的集合，一个完整的图结构就是由顶点集合和边集合组成。图结构在数学上记为以下形式：

G=（V,E） 或者 G=（V（G），E（G））

其中 V（G）表示图结构所有顶点的集合，顶点可以用不同的数字或者字母来表示。E（G）是图结构中所有边的集合，每条边由所连接的两个顶点来表示。

图结构中顶点集合V（G）不能为空，必须包含一个顶点，而图结构边集合可以为空，表示没有边。

图的基本概念

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1.无向图

​ 如果一个图结构中，所有的边都没有方向性，那么这种图便称为无向图。典型的无向图，如图二所示。由于无向图中的边没有方向性，这样我们在表示边的时候对两个顶点的顺序没有要求。例如顶点VI和顶点V5之间的边，可以表示为(V2， V6),也可以表示为(V6，V2)。

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对于图二无向图，对应的顶点集合和边集合如下：

​ V（G）= {V1，V2，V3，V4，V5，V6}

​ E（G）= {（V1,V2），（V1，V3），（V2，V6），（V2，V5），（V2，V4），（V4，V3），（V3，V5），（V5，V6）}

2.有向图

一个图结构中，边是有方向性的，那么这种图就称为有向图，如图三所示。由于图的边有方向性，我们在表示边的时候对两个顶点的顺序就有要求。我们采用尖括号表示有向边，例如<V2，V6>表示从顶点V2到顶点V6，而<V6，V2>表示顶点V6到顶点V2。

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​ 图三 有向图

对于图三有向图，对应的顶点集合和边集合如下：

​ V（G）= {V1，V2，V3，V4，V5，V6}

​ E（G）= {<V2，V1>，<V3，V1>，<V4，V3>，<V4，V2>，<V3，V5>，<V5，V3>，<V2，V5>，<V6，V5>，<V2，V6>，<V6，V2>}

注意：

​ 无向图也可以理解成一个特殊的有向图，就是边互相指向对方节点，A指向B，B又指向A。

3.顶点的度

连接顶点的边的数量称为该顶点的度。顶点的度在有向图和无向图中具有不同的表示。对于无向图，一个顶点V的度比较简单，其是连接该顶点的边的数量，记为D(V)。 例如，图二所示的无向图中，顶点V5的度为3。而V6的度为2。

对于有向图要稍复杂些，根据连接顶点V的边的方向性，一个顶点的度有入度和出度之分。

• 入度是以该顶点为端点的入边数量， 记为ID(V)。

• 出度是以该顶点为端点的出边数量， 记为OD(V)。

  这样，有向图中，一个顶点V的总度便是入度和出度之和，即D(V) = ID(V) + OD(V)。例如，图三所示的有向图中，顶点V5的入度为3,出度为1，因此，顶点V5的总度为4。

  4.邻接顶点

  邻接顶点是指图结构中一条边的两个顶点。 邻接顶点在有向图和无向图中具有不同的表示。对于无向图，邻接顶点比较简单。例如，在图二所示的无向图中，顶点V2和顶点V6互为邻接顶点，顶点V2和顶点V5互为邻接顶点等。

  对于有向图要稍复杂些，根据连接顶点V的边的方向性，两个顶点分别称为起始顶点(起点或始点)和结束顶点(终点)。有向图的邻接顶点分为两类：

• 入边邻接顶点：连接该顶点的边中的起始顶点。例如，对于组成<V2，V6>这条边的两个顶点，V2是V6的入边邻接顶点。

• **出边邻接顶点：**连接该顶点的边中的结束顶点。例如，对于组成<V2，V6>这条边的两个顶点，V6是V2的出边邻接顶点。

  5.无向完全图

  如果在一个无向图中， 每两个顶点之间都存在条边，那么这种图结构称为无向完全图。典型的无向完全图，如图四所示。

​ 图四 无向完全图

理论上可以证明，对于一个包含M个顶点的无向完全图，其总边数为M(M-1)/2。比如图四总边数就是5（5-1）/ 2 = 10。

6.有向完全图

如果在一个有向图中，每两个顶点之间都存在方向相反的两条边，那么这种图结构称为有向完全图。典型的有向完全图，如图五所示。

​ 图五 有向完全图

理论上可以证明，对于一个包含N的顶点的有向完全图，其总的边数为N(N-1)。这是无向完全图的两倍，这个也很好理解，因为每两个顶点之间需要两条边。

​ 7.有向无环图（DAG图）

如果一个有向图无法从某个顶点出发经过若干条边回到该点，则这个图是一个有向无环图。

有向无环图可以利用在区块链技术中。

　　8.无权图和有权图

​

这里的权可以理解成一个数值，就是说节点与节点之间这个边是否有一个数值与它对应，对于无权图来说这个边不需要具体的值。对于有权图节点与节点之间的关系可能需要某个值来表示，比如这个数值能代表两个顶点间的距离，或者从一个顶点到另一个顶点的时间，所以这时候这个边的值就是代表着两个节点之间的关系，这种图被称为有权图；

如：在交通运输网中，边上的权值可能表示的是路程，也可能表示

的是运输费用（显然二者都是数字）。不过，边上的权值也有可能

是其它东西，比如说是一个字符串，甚至是一个更加复杂的数据包，

里面集合了更多的数据

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9.图的连通性

图的每个节点不一定每个节点都会被边连接起来，所以这就涉及到图的连通性，如下图：

可以发现上面这个图不是完全连通的。

9.简单图 ( Simple Graph)

对于节点与节点之间存在两种边，这两种边相对比较特殊

1.自环边（self-loop）：节点自身的边，自己指向自己。

2.平行边（parallel-edges）：两个节点之间存在多个边相连接。

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这两种边都是有意义的，比如从A城市到B城市可能不仅仅有一条路，比如有三条路，这样平行边就可以用到这种情况。不过这两种边在算法设计上会加大实现的难度。而简单图就是不考虑这两种边。

图的遍历

深度优先遍历和广度优先遍历

图的节点和边的结合变量

package edu.xalead.Graph;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Objects;

public class GraphNode {

    private Object data;
    private List<GraphNode> nexts = new ArrayList<>();


    @Override
    public boolean equals(Object o) {
        if (this == o) return true;
        if (o == null || getClass() != o.getClass()) return false;
        GraphNode graphNode = (GraphNode) o;
        return Objects.equals(data, graphNode.data) &&
                Objects.equals(nexts, graphNode.nexts);
    }

    @Override
    public int hashCode() {
        return Objects.hash(data, nexts);
    }

    public GraphNode(Object data) {
        this.data = data;
        this.nexts = nexts;
    }

    public Object getData() {
        return data;
    }

    public void setData(Object data) {
        this.data = data;
    }

    public List<GraphNode> getNexts() {
        return nexts;
    }

    public void setNexts(List<GraphNode> nexts) {
        this.nexts = nexts;
    }
}

两种遍历方法

package edu.xalead.Graph;
import java.util.*;

public class Test {
    /**
     * 图的深度优先（递归）
     * @root 图的起始节点
     * @visited 已经访问过的节点集合
     */
    public static void dft(GraphNode root,ArrayList<GraphNode> visiteds){
        System.out.print (root.getData() + "  ");
        visiteds.add(root);
        for(int i = 0 ; i < root.getNexts().size() ; i++){
            GraphNode t = root.getNexts().get(i);
            if(!visiteds.contains(t)){
                dft(t,visiteds);
            }
        }
    }

    /**
     * 图的广度优遍历
     * @param root 图的起始节点
     * @param visiteds 已经访问过的节点集合
     */
    public static void bft(GraphNode root,ArrayList<GraphNode> visiteds){
        Queue<GraphNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        visiteds.add(root);
        while(!queue.isEmpty()){
            GraphNode poll = queue.poll();
            System.out.print(poll.getData() + "  ");
            for(int i=0;i<poll.getNexts().size();i++){
                GraphNode node = poll.getNexts().get(i);
                if(!visiteds.contains(node)){
                    queue.offer(node);
                    visiteds.add(node);

                }
            }
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        GraphNode node1 = new GraphNode(0);
        GraphNode node2 = new GraphNode(1);
        GraphNode node3 = new GraphNode(2);
        GraphNode node4 = new GraphNode(3);
        GraphNode node5 = new GraphNode(4);
        GraphNode node6 = new GraphNode(5);
        GraphNode node7 = new GraphNode(6);
        GraphNode node8 = new GraphNode(7);

        node1.getNexts().add(node2);
        node1.getNexts().add(node3);
        node3.getNexts().add(node7);
        node2.getNexts().add(node4);
        node2.getNexts().add(node5);
        node4.getNexts().add(node6);
        node5.getNexts().add(node6);
        node5.getNexts().add(node8);


        System.out.println("图的深度优先遍历（递归 栈）");
        dft(node1,new ArrayList<>());
        System.out.println();
        System.out.println("图的广度度优先遍历（队列）");
        bft(node1,new ArrayList<>());


    }
}

结果展示：