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给定一棵树,在树上选 3 个点,要求两两距离相等,求方案数。
这个真的不好想,真的好难好难哎。
首先,我们不妨看成固定两点求第三点这样的策略,使得计算答案变得略微方便处理一些。
固定一个二维点对(x, y)表示:
使得,x和y满足这样的条件:
我们不妨设也就是,我们知道这样的(x, y)点对,去寻找可能的z点的。z点有一个性质,就是距离u点的距离为j。
那么,我们需要记录二维点对的一个dp方程,还要一个记录点u深度为j的点的个数的这样的一个dp方程。
表示点u为子树的根结点中,距离它为j个单位长度的点的数量;
表示以u为子树的根结点中,合法点对(x, y),且要找距离为j的点的,此时的合法点对的数量。
于是有方程:
- 在u结点中寻找答案
- 在v 结点方向上寻找答案
- 先继承之前的,因为高度变高,所以我们要找的点的距离应该更小了
- 更新点对
- 更新对应高度上的点数
这样,长链剖分的方程便列出来了,由于是不断下降的,所以开空间需要反过来开,这点需要注意。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
//#include <unordered_map>
//#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-8
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 2e5 + 7;
int N, head[maxN], cnt;
struct Eddge
{
int nex, to;
Eddge(int a=-1, int b=0):nex(a), to(b) {}
} edge[maxN << 1];
inline void addEddge(int u, int v)
{
edge[cnt] = Eddge(head[u], v);
head[u] = cnt++;
}
inline void _add(int u, int v) { addEddge(u, v); addEddge(v, u); }
int len[maxN], Wson[maxN];
void pre_dfs(int u, int fa)
{
for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex)
{
v = edge[i].to;
if(v == fa) continue;
pre_dfs(v, u);
if(len[v] > len[Wson[u]]) Wson[u] = v;
}
len[u] = len[Wson[u]] + 1;
}
ll ans = 0, tmp[maxN << 2], *f[maxN << 2], *id, smp[maxN << 2], *g[maxN << 2], *sd;
void dfs(int u, int fa)
{
f[u][0] = 1;
if(Wson[u])
{
f[Wson[u]] = f[u] + 1;
g[Wson[u]] = g[u] - 1;
dfs(Wson[u], u);
}
ans += g[u][0];
for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex)
{
v = edge[i].to;
if(v == fa || v == Wson[u]) continue;
f[v] = id; id += len[v];
sd += (len[v] << 1) + 10;
g[v] = sd;
sd++;
dfs(v, u);
for(int j=0; j<len[v]; j++)
{
if(j)
{
ans += f[u][j - 1] * g[v][j];
}
ans += f[v][j] * g[u][j + 1];
}
for(int j=0; j<len[v]; j++)
{
if(j)
{
g[u][j - 1] += g[v][j];
}
g[u][j + 1] += f[u][j + 1] * f[v][j];
f[u][j + 1] += f[v][j];
}
}
}
inline void init()
{
cnt = 0;
for(int i=1; i<=N; i++) head[i] = -1;
}
int main()
{
scanf("%d", &N);
init();
for(int i=1, u, v; i<N; i++)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
_add(u, v);
}
pre_dfs(1, 0);
id = tmp; sd = smp;
f[1] = id;
id += len[1];
sd += (len[1] << 1) + 10;
g[1] = sd;
sd++;
dfs(1, 0);
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}