00引言

在毕业实用统计模型（一）——时间序列¹中，介绍了一般的时间序列的建模思路，主要介绍ARMA模型以及R语言的实现。然而在实际还会遇到一些其他的模型ARIMA、SARIMA。而模型参数也会也会变的复杂，从pq到pdq到pdqPDQS。本文主要通过R语言生成符合三种模型的随机数，进行建模预测。给大家看一下如何操作。
在写模型之前先给大家介绍一个时间序列总结的不错的链接²（见参考文献[2]）。

1、三种模型的区别

下面表格中给出常见的时间序列模型。

模型	适用数据	参数
ar	自回归模型（平稳数据）	p
ma	滑动平均模型（平稳数据）	q
arma	自回归滑动平均模型（平稳数据）	（p,q）
arima	加入了差分（带有趋势的不平稳数据）	（p,d,q）
sarima	加入了季节因素（带有趋势周期的不平稳数据）	(p,d,q)(P,D,Q)[s]

2、数据模拟

此部分使用数据模拟的方式分别建立上述三种模型。下面是运行代码所需要的包，自行安装载入。

# 载入所需包
library(tseries)  
library(zoo)
library(forecast)

2.1arma

# 构造数据
> ts1 <- arima.sim(n = 100,list(ar = c(0.8, -0.5), ma = c(0.2, 0.5)))
# 建模
> (fit <- auto.arima(ts1, ic = "aic"))
Series: ts1 
ARIMA(2,0,2) with zero mean 
Coefficients:
         ar1      ar2     ma1     ma2
      0.7477  -0.4414  0.1682  0.5319
s.e.  0.1611   0.1354  0.1471  0.1227
sigma^2 estimated as 0.9337:  log likelihood=-137.19
AIC=284.37   AICc=285.01   BIC=297.4
> x.fore <- forecast(fit, h = 10)
> plot(x.fore)

看一下模型预测效果：
在这里插入图片描述

2.2arima

先看固定的趋势：

> (fit <- auto.arima((1:100)^2, ic = "aic"))
Series: (1:100)^2 
ARIMA(0,2,0) 
sigma^2 estimated as 4:  log likelihood=-206.98
AIC=415.97   AICc=416.01   BIC=418.55
> x.fore <- forecast(fit, h = 10)
> plot(x.fore)

效果：
在这里插入图片描述
再看一下函数filter和数据presidents构造的时间序列。

> ts2 <- filter(presidents, rep(1, 3))
> plot.ts(ts2)
> (fit <- auto.arima(ts2, ic = "aic"))
Series: ts2 
ARIMA(3,0,2) with non-zero mean 
Coefficients:
         ar1     ar2      ar3     ma1     ma2      mean
      0.6180  0.4213  -0.2307  1.1205  0.9496  169.2646
s.e.  0.1051  0.1156   0.1039  0.0700  0.0672   13.2637
sigma^2 estimated as 91.77:  log likelihood=-400.08
AIC=814.15   AICc=815.18   BIC=833.49
> x.fore <- forecast(fit, h = 10)
> plot(x.fore)

下面看效果：
在这里插入图片描述

2.3sarima

这里在加入季节因素，注意数据的构造，如果不用ts函数包装则不能建立此模型。

先构造数据
> ts3 <- rep(1:4, time = 25) + rnorm(4*25, 0, 0.1)
> ts3 <- ts(ts3, frequency = 4)
> plot(ts3, type = "l")

在这里插入图片描述
下面建模：

> (fit <- auto.arima(ts3, ic = "aic", max.P = 5, max.Q = 5))
Series: ts3 
ARIMA(0,0,0)(4,1,0)[4] 
Coefficients:
         sar1     sar2     sar3     sar4
      -0.6396  -0.5746  -0.4950  -0.3314
s.e.   0.1026   0.1256   0.1219   0.1086
sigma^2 estimated as 0.01478:  log likelihood=65.96
AIC=-121.91   AICc=-121.25   BIC=-109.09
> x.fore <- forecast(fit, h = 10)
> plot(x.fore)

在这里插入图片描述