HDU2524-矩形A + B

Problem Description

给你一个高为n ，宽为m列的网格，计算出这个网格中有多少个矩形

Input

第一行输入一个t, 表示有t组数据，然后每行输入n,m,分别表示网格的高和宽 ( n < 100 , m < 100).

Output

每行输出网格中有多少个矩形.

Sample Input

2
1 2
2 4

Sample Output

3
30

题解

思路一

我们假设网格是1行m列的，那么总的矩形数目 = m(1*1的矩形) + m-1(1*2的矩形) + m-2(1*3的矩形) +…+1(1*m的矩形) = $\frac{m*(m+1)}2$ ，同理n行1列总的矩形数目是 $\frac{n*(n+1)}2$ . 对于 $n*m$ 的网格，我们可以先确定好选取的行数（即确定矩形的高），共有 $\frac{n*(n+1)}2$ 种选法，选好以后就可以压缩成1行m列的网格来考虑了，因此总共 $\frac {n*(n+1)}2*\frac{m*(m+1)}2$ 个矩形。

思路二

动态规划，假设dp[i][j]表示以第 i 行第 j 列的格子为右下角顶点的矩形数目，那么dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] – dp[i-1][j-1] , 这里的1表示i ,j 位置的格子自身构成1*1的矩形，之所以减去dp[i-1][j-1], 因为dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 都包含了dp[i-1][j-1]。最后把所有dp[i][j]加起来就是我们所求的答案。
计算时注意i = 1 和 j = 1的边界条件。dp[][0]=dp[0][]=1;dp[0][0]=2 (因为dp[1][1]=1+dp[1][0]+dp[0][1]-dp[0][0]=1,所以dp[0][0]=2)

代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long

using namespace std;

int main()
{
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        LL ans=(n*(1+n)/2)*(m*(1+m)/2);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long

using namespace std;

const int maxn=105;
LL dp[maxn][maxn];
void init()
{
    for(int i=0;i<maxn;++i)
        dp[i][0]=dp[0][i]=1;
    dp[0][0]=2;
    for(int i=1;i<maxn;++i)
        for(int j=1;j<maxn;++j)
        dp[i][j]=1+dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1];
}

void solve2(int n,int m)
{
    LL ans=0;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        for(int j=1; j<=m; ++j)
            ans+=dp[i][j];
    printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
    init();
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        solve2(n,m); //方法二
    }
    return 0;
}