hw06 Haosen Chen (未批改...)
Problem 1 (第一可数空间的例子). 如果拓扑空间 \(X\) 在每点都有可数基，则称 \(X\) 满足第一可数公理. 证明 \(\mathbb{R}_l\) 和有序矩形均满足第一可数公理.
pf. (1) 任取 \(x\in \mathbb{R}\). 考虑 \(x\) 的开邻域族 \(\{[x,x+\frac{1}{n})\}_{n=1}^{+\infty}\)，对 \(\mathbb{R}_l\) 中任意包含 \(x\) 的基元素 \([a,b)\)，取 \(n>\frac{1}{b-x}\) 就有 \([x,x+\frac{1}{n})\subset[a,b)\). 再注意任意开集都是一些基元素的并(从而至少包含一个基元素)，因此 \(\mathbb{R}_l\) 在 \(x\) 处有可数基. (2) 不妨考虑有序矩形 \(I_0^2=[0,1]\times[0,1]\). 任取 \((x,y)\in I_0^2\). 当 \(x\notin\{0,1\}\) 时取 \(\{\big((x-\frac{1}{n},y),(x+\frac{1}{n},y)\big)\}_{n=N}^{+\infty}\) 即可，其中 \(N\) 充分大使得 \(x-\frac{1}{N},x+\frac{1}{N}\in(0,1)\). 当 \(x=0,y\notin\{0,1\}\) 时取 \(\{\big((0,y-\frac{1}{n}),(0,y+\frac{1}{n})\big)\}_{n=N}^{+\infty}\) 即可(同样取 \(N\) 充分大). 当 \((x,y)=(0,0)\) 时取 \(\{\big[(0,0),(0,\frac{1}{n})\big)\}_{n=1}^{+\infty}\) 即可. 当 \((x,y)=(0,1)\) 时取 \(\{\big((0,1-\frac{1}{n}),(1,0)\big)\}_{n=1}^{+\infty}\) 即可. 对于 \((x,y)=(1,0),(1,1)\) 的情形同理. 因此有序矩形在其上每点都有可数基. \(\quad\Box\)
Problem 2 (等距映射是嵌入，等距双射是同胚). 设 \((X,d_X),(Y,d_Y)\) 都是度量空间，\(f:X\to Y\) 是一个映射. 证明：若 \(\forall x_1,x_2\in X,\ d_Y(f(x_1),f(x_2))=d_X(x_1,x_2)\)，则 \(f\) 是嵌入.
pf. 由于 \(f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow d_Y(f(x_1),f(x_2))=0\Leftrightarrow d_X(x_1,x_2)\Leftrightarrow x_1=x_2\)，\(f\) 是单射. 由条件知
即 \(Y\) 中每个基元素都是 \(X\) 中某个基元素的像，从而 \(f\) 连续. 记 \(Z=f(X)\)，考虑 \(Z\) 作为 \(Y\) 的子空间，由\((*)\)知 \(Z\) 是 \(Y\) 中的开集，从而 \(Z\) 的开集也是 \(Y\) 的开集，因此再次由\((*)\)知 \(f\) 限制值域得到的 \(f':X\to Z\) 的逆映射 \(f'^{-1}:Z\to X\) 连续. \(\quad\Box\)
Problem 3 (Hilbert立方，\(\ell^{\,2}-\,\)拓扑). 设 \(\mathbb{R}^{\omega}\) 的子集 \(X=\prod_{n\in \mathbb{Z}_+}[0,\frac{1}{n}]\)，对 \(x = (x_n), y = (y_n)\) 定义
证明 \(d\) 是 \(X\) 上的度量. \(X\) 作为 \(\mathbb{R}^{\omega}\) 的积拓扑，箱拓扑，一致拓扑的子空间拓扑以及 \(d\) 所诱导的度量拓扑这四种拓扑的关系如何？
Soln. 首先对任意 \(x,y\in X\)，正项级数级数 \(\displaystyle d(x, y)^2=\sum_{i=1}^{\infty}(x_i-y_i)^2\) 收敛 (考虑\(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}\), 用比较判别法)，因此 \(d(x,y)\) 是唯一存在的，\(d\) 是 \(X\times X\to \mathbb{R}\) 的一个映射. 显然 \(d\) 满足正定和对称的条件，由 $Minkowski $ 不等式，三角不等式的条件也成立，从而 \(d\) 是 \(X\) 上的度量.
记 \(X\) 作为 \(\mathbb{R}^{\omega}\) 的积拓扑，箱拓扑，一致拓扑的子空间拓扑以及 \(d\) 所诱导的度量拓扑分别为 \(\mathcal{T}_{p},\mathcal{T}_{b},\mathcal{T}_{u},\mathcal{T}_{d}\) . (注：p-product, b-box, u-uniform .)
下证 \(\mathcal{T}_{b}\supsetneq\mathcal{T}_{d}=\mathcal{T}_{u}\supsetneq\mathcal{T}_{p}\).
(1) \(\mathcal{T}_{b}\supsetneq\mathcal{T}_{d}\)
任取\(\mathcal{T}_d\)中的基元素\(B_d(a,\varepsilon)\) 以及 \(x\in B_d(a,\varepsilon)\)，存在 \(x\) 的邻域 \(B_d(x,\delta)\subset B_d(a,\varepsilon)\)，考虑 \(\mathcal{T}_b\) 中包含 \(x\) 的开集 \(U=\prod_{n\in\mathbb{Z}_+}(x_n-\frac{\delta}{2n},x_n+\frac{\delta}{2n})\bigcap X\)，对其中任意一个点 \(y\)，有
即 \(y\in B_d(x,\delta)\)，从而\(U\subset B_d(x,\delta)\subset B_d(a,\varepsilon)\)，故 \(\mathcal{T}_{b}\supset\mathcal{T}_{d}\).
为了证明这个包含关系是严格的，只要找到 \(\mathcal{T}_b\) 中的一个基元素 \(B\) 以及基元素中一点 \(x_0\) 使得 \(\mathcal{T}_d\) 中任何一个包含点 \(x_0\) 的基元素都不能包含于 \(B\). 取 \(B=\prod_{n\in\mathbb{Z}_+}[0,\frac{1}{n^2}),x_0=\mathbf{0}\). 则由于当 \(n\) 充分大时总有 \(\frac{1}{n^2}<\varepsilon\)，任意开球 \(B_{\bar{\rho}’(\mathbf{0},\varepsilon)}\) 不能包含于 \(B\)，从而任意包含 \(\mathbf{0}\) 的开球 \(B_{\bar{\rho}’(x,\delta)}\) 不能包含于 \(B\).
(2) \(\mathcal{T}_{d}=\mathcal{T}_{u}\)
注意 \(X\) 从 \(\mathbb{R}^{\omega}\) 的一致拓扑继承的子空间拓扑还是一个度量拓扑 (由\(\mathbb{R}^{\omega}\) 上的一致度量 \(\bar{\rho}\) 在 \(X\times X\) 上的限制 \(\bar{\rho}’\) 诱导).
任取 \(\mathcal{T}_u\) 的一个基元素\(B_{\bar{\rho}’}(x,\varepsilon)=B_{\bar{\rho}}(x,\varepsilon)\cap X\)，\(\forall y\in B_d(x,\varepsilon/2)\) ，由 \(\displaystyle d(x, y)^2=\sum_{i=1}^{\infty}(x_i-y_i)^2<(\varepsilon/2)^2\) 知 \(y_i\in (x_i-\frac{\varepsilon}{2},x_i+\frac{\varepsilon}{2})\cap[0,\frac{1}{n}]\)，从而 \(y\in B_{\bar{\rho}}(x,\varepsilon)\cap X\)，所以 \(B_d(x,\varepsilon/2)\subset B_{\bar{\rho}’}(x,\varepsilon)\)，故 \(\mathcal{T}_{d}\supset\mathcal{T}_{u}\).
反之，对每一个 \(\mathcal{T}_d\) 的基元素 \(B_d(x,\varepsilon)\)，存在 \(N\in\mathbb{Z}_+\) 使得
从而取 \(\mathcal{T}_u\) 中的基元素 \(B_{\bar{\rho}}(x,\frac{1}{\sqrt{2N}}\varepsilon) \cap X\)，对其中任意一点 \(y\) 有
即 \(y\in B_d(x,\varepsilon)\)，所以 \(B_{\bar{\rho}}(x,\frac{1}{\sqrt{2N}}\varepsilon) \cap X\subset B_d(x,\varepsilon)\)，故 \(\mathcal{T}_u\supset\mathcal{T}_d\).
(3) \(\mathcal{T}_{u}\supsetneq\mathcal{T}_{p}\)
\(\mathcal{T}_{u}\supset\mathcal{T}_{p}\) 是显然的. 下面证明：存在 \(\mathcal{T}_u\) 的基元素，它不包含任何 \(\mathcal{T}_p\) 的基元素 (从而 \(\mathcal{T}_p\) 不比 \(\mathcal{T}_u\) 细). 取 \(\varepsilon=\frac{1}{4},x=(x_n),x_n=\frac{1}{2n}+\varepsilon,\forall n\in\mathbb{Z}_+\), \(\mathcal{T}_u\) 的基元素 \(B_{\bar{\rho}}(x,\varepsilon)\cap X\subset \prod_{n\in\mathbb{Z}_+}(x_n-\varepsilon,x_n+\varepsilon)\bigcap X=\prod_{n\in\mathbb{Z}_+}(\frac{1}{2n},\frac{1}{n}]\) . \(\mathcal{T}_p\) 的任何基元素形如 \(\prod_{n=1}^{N}\big([0,\frac{1}{n}]\cap(a_n,b_n)\big)\times\prod_{n>N}[0,\frac{1}{n}]\)，因此不能被 \(\prod_{n\in\mathbb{Z}_+}(\frac{1}{2n},\frac{1}{n}]\) 包含，所以更不能被 \(B_{\bar{\rho}}(x,\varepsilon)\cap X\) 包含.\(\quad\Box\)
Problem 4 (p-adic metric). 取定素数 \(p\)，在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上定义映射 \(v_p\) 如下：将非零有理数 \(r\) 写成 \(r = p^k\frac{a}{b}\) 的形式，其中 \(k\) 是整数，且 \((p,a) = (p,b) = (a,b) = 1\) (这种表示是唯一的)，令\(v_p(r) = k\) 以及 \(v_p(0) =+\infty\). 证明：\(d_p(r_1,r_2) = p^{-v_p(r_1-r_2)}\)是 \(\mathbb{Q}\) 上的度量.
pf. \(d_p:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\to\mathbb{R}\) 是函数，满足正定和对称的条件，下证对 \(d_p\) 有三角不等式. 由于 \(v_p(0)=+\infty\)，不妨任取非零有理数 \(r_i=p^{k_i}\frac{a_i}{b_i}\ (i=1,2,3)\)，其中 \(k_i\in\mathbb{Z}\)，且 \((p,a_i) = (p,b_i) = (a_i,b_i) = 1\). 对任意 \(i,j\) 有
从而当 \(k_1,k_2,k_3\) 中有两个数不相等时，结论是显然的.当 \(k_1=k_2=k_3\) 时，即证 \(p^{-v_p(a_1b_2-a_2b_1)}\le p^{-v_p(a_1b_3-a_3b_1)}+p^{-v_p(a_2b_3-a_3b_2)}\). 事实上，我们有
当 \(a_1b_3-a_3b_1=0\) 时，由 \((a_i,b_i)=1\) 知 \(a_1=a_3,b_1=b_3\)，从而上式自然成立. 当\(a_2b_3-a_3b_2=0\) 时同理. 下设
其中非零整数 \(s,t\) 满足 \((p,s)=(p,t)=1\). 则 \(m=v_p(a_1b_3-a_3b_1),n=v_p(a_2b_3-a_3b_2)\). \((*)\) 中两式分别乘以 \(b_2,b_1\) 再相减得到 \(b_3(a_1b_2-a_2b_1)=b_2sp^m-b_1tp^n\). 因为 \((b_3,p)=1\)，所以 \(p^{\min\{m,n\}}\) 整除 \(a_1b_2-a_2b_1\)，即 \(v_p(a_1b_2-a_2b_1)\ge\min\{m,n\}\). 故证. \(\quad\Box\)
关于 \(p-adic\) 的进一步内容见 Evan Chen 的书 (链接如下) P296，297
https://venhance.github.io/napkin/Napkin.pdf