红黑树算法原理

原文：红黑树深入剖析及Java实现，本文修改了原文的一些小错误，如果想看红黑树的Java实现可以到原文去看。
红黑树是平衡二叉查找树的一种。为了深入理解红黑树，我们需要从二叉查找树开始讲起。

BST

二叉查找树（Binary Search Tree，简称BST）是一棵二叉树，它的左子节点的值比父节点的值要小，右节点的值要比父节点的值大。它的高度决定了它的查找效率。在理想的情况下，二叉查找树增删查改的时间复杂度为O(logN)（其中N为节点数），最坏的情况下为O(N)。当它的高度为logN+1时，我们就说二叉查找树是平衡的。

BST的查找操作

T  key = a search key
Node root = point to the root of a BST

while(true){
    if(root==null){
        break;
    }
    if(root.value.equals(key)){
        return root;
    }else if(key.compareTo(root.value)<0){
        root = root.left;
    }else{
        root = root.right;
    }
}
return null;
  
  

  
  

   
   
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从程序中可以看出，当BST查找的时候，先与当前节点进行比较：

• 如果相等的话就返回当前节点；
• 如果小于当前节点则继续查找当前节点的左节点；
• 如果大于当前节点则继续查找当前节点的右节点。

直到当前节点指针为空或者查找到对应的节点，程序查找结束。

BST的插入操作

Node node = create a new node with specify value
Node root = point the root node of a BST
Node parent = null;

//find the parent node to append the new node
while(true){
   if(root==null)break;
   parent = root;
   if(node.value.compareTo(root.value)<=0){
      root = root.left;  
   }else{
      root = root.right;
   } 
}
if(parent!=null){
   if(node.value.compareTo(parent.value)<=0){//append to left
      parent.left = node;
   }else{//append to right
      parent.right = node;
   }
}
  
  

  
  

   
   
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插入操作先通过循环查找到待插入的节点的父节点，和查找父节点的逻辑一样，都是比大小，小的往左，大的往右。找到父节点后，对比父节点，小的就插入到父节点的左节点，大就插入到父节点的右节点上。

BST的删除操作

在二叉查找树中删除一个给定的结点p有三种情况：

1. 结点p无左右孩子，则直接删除该结点，修改父节点相应指针。
2. 结点p只有左孩子（右孩子），则把p的父节点和p的左孩子（右孩子）相连，然后删除p。
3. 左右孩子同时存在，找到p的中序直接前驱s，也就是以p的左孩子为根结点的子树中最右的结点，把s的右孩子和p的右孩子相连，p的父节点和p的左孩子相连，然后删除p。

//从二叉查找树中删除指针p所指向的结点 
if(p.right == null) //p的右子树为空   
{  
    p = p.left;
}  
else if(p.left == null) //p的左子树为空   
{  
    p = p.right;
}  
else //左右子树均不空   
{  
    BSTNode s = p.left; //左孩子  
    while(s.right != null) //寻找结点p的中序前驱结点，                      
    {                   //也就是以s为根结点的子树中最右的结点   
        s = s.right;      
    }  
    s.right = p.right; //p的右孩子和s的右孩子相连   
    p = p.left; //p的左孩子和p的父节点相连 
}  
  
  

  
  

   
   
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RBTree

然而BST的问题是：数在插入的时候会导致树倾斜，不同的插入顺序会导致树的高度不一样，而树的高度直接的影响了树的查找效率。理想的高度是logN，最坏的情况是所有的节点都在一条斜线上，这样的树的高度为N。

基于BST存在的问题，一种新的树——平衡二叉查找树(Balanced BST)产生了。平衡树在插入和删除的时候，会通过旋转操作将高度保持在logN。其中两款具有代表性的平衡树分别为AVL树和红黑树。AVL树追求全局平衡，导致插入和删除性能差，在实际应用中不如追求局部平衡的红黑树（Red-Black Tree，简称RBTree），比如Linux内核中的完全公平调度器、高精度计时器、ext3文件系统等，各种语言的函数库如Java的TreeMap和TreeSet，C++ STL的map、multimap、multiset等，Java 8中的HashMap也用到了RBTree取代过长的链表。

RBTree的定义

RBTree的定义如下:

1. 任何一个节点都有颜色，黑色或者红色；
2. 根节点是黑色的；
3. 父子节点之间不能出现两个连续的红节点；
4. 任何一个节点向下遍历到其子孙的叶子节点，所经过的黑节点个数必须相等；
5. 空节点被认为是黑色的。

数据结构表示如下：

class  Node<T>{
   public   T value;
   public   Node<T> parent;
   public   boolean isRed;
   public   Node<T> left;
   public   Node<T> right;
}
  
  

  
  

   
   
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RBTree在理论上还是一棵BST树，但是它在对BST的插入和删除操作时会维持树的平衡，即保证树的高度在[logN,logN+1]（极端的情况下可以出现RBTree的高度达到2*logN，但实际上很难遇到）。这样RBTree的查找时间复杂度始终保持在O(logN)从而接近于理想的BST。RBTree的删除和插入操作的时间复杂度也是O(logN)。
RBTree的查找操作就是BST的查找操作。

RBTree的插入操作

RBTree的插入与BST的插入方式是一致的，只不过是在插入过后，可能会导致树的不平衡，这时就需要对树进行旋转操作和颜色修复（在这里简称插入修复），使得它符合RBTree的定义。

新插入的节点是红色的，插入修复操作如果遇到父节点的颜色为黑则修复操作结束。也就是说，只有在父节点为红色节点的时候是需要插入修复操作的。

插入修复操作分为以下的三种情况：

插入操作-case 1

case-1：新插入节点的叔叔节点为红色。

此时操作是将父节点和叔叔节点与祖父节点的颜色互换，这样就符合了RBTRee的定义。下图中，操作完成后A节点变成了新的节点。如果A节点的父节点不是黑色的话，则继续做修复操作。

插入操作-case 2

case-2：新插入节点的叔叔节点为空，且祖父节点、父节点和新节点处于一条斜线上。

此时操作是将B节点进行右旋操作，并且和父节点A互换颜色。通过该修复操作RBTRee的高度和颜色都符合红黑树的定义。如果B和C节点都是右节点的话，只要将操作变成左旋就可以了。

插入操作-case 3

case-3：叔叔节点为空，且祖父节点、父节点和新节点不处于一条斜线上。

此时操作是将C节点进行左旋，这样就从case 3转换成case 2了，然后针对case 2进行操作处理就行了。case 2操作做了一个右旋操作和颜色互换来达到目的。如果树的结构是下图的镜像结构，则只需要将对应的左旋变成右旋，右旋变成左旋即可。

插入操作的总结

插入后的修复操作是一个向root节点回溯的操作，一旦牵涉的节点都符合了红黑树的定义，修复操作结束。之所以会向上回溯是由于case 1操作会将父节点，叔叔节点和祖父节点进行换颜色，有可能会导致祖父节点不平衡(红黑树定义3)。这个时候需要对祖父节点为起点进行调节，向上回溯，直到root节点为止，根据定义root节点永远是黑色的。

RBTree的删除操作

删除操作首先需要做的也是BST的删除操作，删除后就需要做删除修复操作，使的树符合红黑树的定义，符合定义的红黑树高度是平衡的。

删除修复操作是针对删除黑色节点才有的，当黑色节点被删除后会让整个树不符合RBTree的定义的第四条。需要做的处理是从兄弟节点上借调黑色的节点过来，如果兄弟节点没有黑节点可以借调的话，就只能往上追溯，将每一级的黑节点数减去一个，使得整棵树符合红黑树的定义。
删除修复操作在遇到被删除的节点是红色节点或者到达root节点时，修复操作完毕。

删除修复操作分为四种情况：

删除操作-case 1

case-1：待删除的节点的兄弟节点是红色的节点。

由于兄弟节点是红色节点的时候，无法借调黑节点，所以需要将兄弟节点上升到父节点，由于兄弟节点是红色的，根据RBTree的定义，兄弟节点的子节点是黑色的，就可以从它的子节点借调了。

case 1这样转换之后就会变成后面的case 2，case 3，或者case 4中的一种了。上升操作需要对兄弟节点做一个左旋或右旋操作，然后和父结点变换颜色，兄弟节点的左孩子旋转后作为它原本父结点的右孩子。

删除操作-case 2

case-2：待删除的节点的兄弟节点是黑色的节点，且兄弟节点的子节点都是黑色的。

因为兄弟节点和兄弟节点的子节点都是黑色的，所以可以将兄弟节点变红，但因为兄弟节点的父结点可红可黑，这个时候需要将父节点A变成新的节点，继续向上调整，直到整颗树的颜色符合RBTree的定义为止。

删除操作-case 3

case-3：待删除节点的兄弟节点是黑色的节点，且兄弟节点的左子节点是红色的，右子节点是黑色的(这是兄弟节点在右边的情况)，如果兄弟节点在左边的话，就是兄弟节点的右子节点是红色的，左子节点是黑色的。我理解是和待删除节点离得近的是红的。

此时操作是对这个红色的结点做旋转上升，然后变换它和它原本父结点的颜色，转换为case-4。

删除操作-case 4

case-4：待删除节点的兄弟节点是黑色的节点，且兄弟节点的右子节点是红色的(兄弟节点在右边的情况)，如果兄弟节点在左边，就是左子节点是红色的。现在是离得远的是红的。

如下图A是待删除节点，此时操作是对兄弟节点D做旋转上升，变换D和父结点B的颜色，D的左孩子C现在变为B的右孩子，D的红色右孩子变为黑色。

删除操作的总结

红黑树的删除操作是最复杂的操作，复杂的地方就在于当删除了黑色节点的时候，如何从兄弟节点去借调黑节点，以保证树的颜色符合定义。由于红色的兄弟节点是没法借调出黑节点的，这样只能通过旋转操作让他上升到父节点，而由于它是红节点，所以它的子节点就是黑的，可以借调。

对于兄弟节点是黑色节点的可以分成3种情况来处理，第1种情况是：当兄弟节点的子节点都是黑色节点时，可以直接将兄弟节点变红，这样局部的红黑树颜色是符合定义的。但是整颗树不一定是符合红黑树定义的，需要往上追溯继续调整。

第2种情况是：兄弟节点的子节点为左红右黑。第3种情况是：兄弟节点的右子结点是红的（左子结点随意）。我们可以先将第2情况通过旋转变为第3种情况，这时兄弟节点为黑，兄弟节点的右节点为红，可以借调出两个节点出来做黑节点，这样就可以保证删除了黑节点，整棵树还是符合红黑树的定义的，因为黑色节点的个数没有改变。

原文：红黑树深入剖析及Java实现，本文修改了原文的一些小错误，如果想看红黑树的Java实现可以到原文去看。
红黑树是平衡二叉查找树的一种。为了深入理解红黑树，我们需要从二叉查找树开始讲起。