【5.18 提高班小记】数据结构&&线性基

先挖坑：
1.fhq treap
2.左偏树(可持久化可并堆)
3.重量平衡树。
4.拟阵。

1

维护一个序列，支持：
1.单点修改。
2.区间翻转。
3.给定 $[l,r],$ 执行 $swap(a_i,a_{i+1}) ,\space swap(a_{i+2},a_{i+3})...$
4.区间求和。

用两棵平衡树分别维护奇数位置和偶数位置。swap操作就是把对应奇数位置的平衡树和偶数位置的平衡树交换。

线性基

参考自：https://blog.csdn.net/qaq__qaq/article/details/53812883

eg：

给定 $n$ 个整数（数字可能重复），求在这些数中选取任意个，能否异或得到某个数。

思考这样一种能贪心：如果要查询一个数能不能被一些数异或得到，那么如果这些数最高位的 $1$ 位置都不同，那么我们就可以贪心地去异或。线性基就维护了这样的数的集合。显然，其中只有 $log$ 个数。

性质：

1.线性基中元素互相 $xor$ 所形成的异或集合，等价于原数集的元素互相 $xor$ 形成的异或集合。
2.线性基的异或集合中每个元素的异或方案唯一。
3.如果线性基是满的，它的异或集合为 $[1,2n−1]$。

维护

我们设$a_i$为最高位的1在第i位上的元素是什么。

插入

如果我们要插入，我们从高到低扫描它的二进制位 $i$。如果 $a_i$ 不存在，那么令 $a_i$ 等于 $x$，否则 $x=x~xor~a_i$ 如果 $x$ 变成了 $0$，那么退出。

void insert(int x)
{
    for(int i=32;i>=0;i--)
    {
        if(x&(1<<i))
        {
            if(!a[i])
            {
                a[i]=x;
                break;
            } 
            x^=a[i];
        }
    }
}

查询

存在性

如果要查询 $x$ 能不能被异或出来，那么从高到低扫描 $x$ 为 $1$ 的二进制位 $i$，$x=x~xor~a_i$ 。如果 $x$ 变成了 $0$，那么说明 $x$ 能被异或出来。

最大值

从高位到低位扫描线性基里的元素，如果异或以后使得答案变大，那么就异或它。

long long get_max()
{
    int ans=0;
    for(int i=32;i>=0;i--)
        if((ans&a[i])>ans) ans^=a[i];
    return ans;
}

最小值

最小值就是最低位上的元素。

k小值

我们将线性基改造为每一位相互独立。
如果$i<j$，$a_j$ 的第 $i$ 位是 $1$，那么将 $a_j$ 异或上 $a_i$ 。
这样，对于，二进制的某一位 $i$，只有 $a_i$ 的这一位是 $1$，其余都是 $0$.
查询的时候把 $k$ 二进制拆分，如果第 $i$ 位是 $1$，就异或上 $a_i$。

( $rebuild$ 应该可以在插入的时候做，省掉一个 $log$ )

void rebuild()
{
    cnt=0;
    for (int i=32;i>=0;i--)
        for (int j=i-1;j>=0;j--)
            if (a[i]&(1<<j))
                a[i]^=a[j];
    for (int i=0;i<=32;i++)
        if (a[i])
  p[cnt++]=a[i];
}
int query(int k)
{
    int ans=0;
    if (k>=(1<<cnt))
        return -1;
    for (int i=32;i>=0;i--)
        if (k&(1<<i)) ans^=p[i];
    return ret;
}

2

给定一个长度为 $n$ 的序列，每个位置有一个数 $a[i]$
多次询问 $l,r,x$，问能否用 $[l,r]$ 的数使用异或凑出 $x$
$n≤5×10^5,a[i]≤10^9$

异或凑数具有拟阵性质。
离线，把询问挂到右端点，扫到右端点的时候回答询问。
如果一些变量线性相关，那么删去其中较小的元素。
看看能表示这个数的最小元素是不是小于l

和生成树很像啊。

3

维护 $n$ 个栈，支持区间压栈，区间弹栈，询问某个栈里的第 $k$ 个元素

维护一颗关于时间的线段树
对于每个操作 $[l,r]$，让他在 $l$ 生效 $r+1$ 失效
用时间线段树维护每个操作的影响，回答询问。
zjoi2016 大森林

重量平衡树

什么是重量平衡树？
为了维护一个平衡树，在插入/删除操作之后，为了保持树的平衡而重构的子树大小为均摊/期望 $O(nlogn)$
比如：替罪羊树，treap。

动态下标（毒瘤卡常技巧）

平衡树上判断两个点的前后是一个 $log$ 的。
怎么更快地做这件事呢？
给每个点一个标号，$dfs$ 序上靠前的标号小。
设一个节点 $x$ 对应的区间是 $[l, r]$，令它的标号为 $mid=(l+r)/2$。
让它的左右儿子对应的区间为 $[l,mid]$ 和 $[mid,r]$。
然后递归计算标号。

但是树的深度不能很大，不然会炸精度。
所以用重量平衡树做这个东西

4

插入一个数，询问区间第 $k$ 大。

平衡树套平衡树，动态维护下标。