CF506 E Mr. Kitayuta's Gift （计数）

题意

求长度为n+m的回文串个数，要求这个回文串包含某个给定的长度为m的串S为子序列。
$m\leq200,n\leq10^9$

思路

• 先考虑一个 $O(nm^2)$的DP：设 $h[i][j][k]$表示已经决定了回文串中的第1~i个字符，并且串S从左开始匹配了j个，右开始匹配了k个。
• 这个dp可以用一张带权DAG描述，要求的就是走(n+m+1)/2步后到达终止状态的方案数（_的地方意思是已经匹配）
  
• 红点的意思是左右两边下一个待匹配字符不一致，这样有24种选择回到自己。
• 绿点则相反，有25种选择回到自己并且只有一条出边。
• 将所有链的到达方案数求和即为答案。
• 一条链上，绿点x与红点y的个数满足： $2x+y=n或n+1$。
• 之所以会有n+1是因为有可能最后一个点是绿点，并且此时没匹配的字符仅剩一个字符。为了简单起见不特殊处理，直接按照n+1安排。
• 注意有一种情况是非法的：当n+m是奇数时，最后一步不能使得左右两边匹配同时+1.（因为实际上只有一个字符）
• 绿点与红点的顺序是无所谓的，因此先求出每条本质不同的路径有多少条。
• 接下来虽然有 $O(n)$种本质不同的路径，但这些路径都长得很像：
  
• 做一次矩阵乘法求出上述图中两两到达的方案。每一条路径与某个红点到达某个蓝点的路径相同。
• 至于那种非法的情况，类似在图上求一下方案减去即可。
• $O(n^3(\log n+\sum))$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 210, mo = 1e4 + 7;
char s[N];
int n, m;
int f[N][N][N];
int odd, ans;
#define add(x, y) ((x) = ((x) + (y)) % mo)
void get_count() {
	f[0][0][0] = 1;
	for(int x = 0; x < n; x++) {
		for(int y = 0; x + y < n; y++) {
			for(int k = 0; 2 * k < n; k++) if(f[x][y][k]) {
				for(int i = 'a'; i <= 'z'; i++) 
					if ((s[x + 1] == i) || (s[n - y] == i)) {
						int _x = x + (s[x + 1] == i);
						int _y = y + (s[n - y] == i);
						add(f[_x][_y][k + (s[x + 1] == s[n - y])],
							f[x][y][k]);
					}
			}
		}
	}
}

int sz, cnta, cntb;
typedef int mat[2 * N][2 * N];
mat a;

void mult(mat a, mat b, mat c) {
	static mat ret;
	memset(ret, 0, sizeof ret);
	for(int k = 1; k <= sz; k++) {
		for(int i = 1; i <= k; i++) if(a[i][k]) {
			for(int j = k; j <= sz; j++) {
				add(ret[i][j], a[i][k] * b[k][j]);
			}
		}
	}
	memcpy(c, ret, sizeof ret);
}

void ksm(mat x, int y) {
	static mat ret;
	memset(ret, 0, sizeof ret);
	for(int i = 1; i <= sz; i++) ret[i][i] = 1;
	for(; y; y>>=1) {
		if (y & 1) mult(ret, x, ret);
		mult(x, x, x);
	}
	memcpy(x, ret, sizeof ret);
}

void build_graph() {
	cnta = n, cntb = (n + 1) / 2;
	memset(a, 0, sizeof a);
	for(int i = 1; i < cnta + cntb; i++) 
		a[i][i + 1] = 1;
	for(int i = 1; i <= cnta; i++) a[i][i] = 24;
	for(int i = cnta + 1; i <= cnta + cntb; i++) {
		a[i][i] = 25;
		a[i][i + cntb] = 1;
		a[i + cntb][i + cntb] = 26;
	}
	sz = cnta + cntb + cntb;
}

void calc() {
	build_graph();
	ksm(a, (n + m + 1) / 2);
	for(int k = 0; k * 2 <= n + 1; k++) {
		int sum[2]; sum[0] = sum[1] = 0;
		for(int x = 0; x <= n + 1; x++) {
			if (n - x >= 0) add(sum[0], f[x][n - x][k]);
			add(sum[1], f[x][n + 1 - x][k]);
		}
		for(int s = n; s <= n + 1; s++) {
			int z = s - 2 * k;
			if (z >= 0)
				add(ans, a[cnta - z + 1][cnta + k + cntb] * sum[s - n]);
		}
	}
}

void calc2() {
	build_graph();
	ksm(a, (n + m) / 2);
	for(int k = 1; k * 2 <= n; k++) {
		int z = n - 2 * k, sum = 0;
		for(int x = 0; x < n - 1; x++) 
			if (s[x + 1] == s[x + 2]) {
				add(sum, f[x][n - 2 - x][k - 1]);
			}
		if (z >= 0)
			add(ans, - a[cnta - z + 1][cnta + k] * sum);
	}
}

int main() {
	freopen("e.in", "r", stdin);
	cin>>s+1>>m;
	n = strlen(s + 1); odd = (n + m) % 2;
	get_count();
	calc();
	if (odd) calc2();
	cout << (ans + mo)%mo << endl;
}