CF506E Mr. Kitayuta‘s Gift

CF506E

有个字符串，插入$n$个字符使得它变成回文串。

问形成的不同的回文串的个数。

（洛谷的题目大意有问题）

$|s|\le 10^9$

$n\le 200$

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神仙题。

网上一堆博客讲得很清楚，那么这里就简单地复述一下。

先考虑暴力。设$f_{i,l,r}$表示回文串决定了前后$i$个字符，尽量给字符串匹配，剩下的字符串为$[l,r]$的方案数。

$g_i$表示决定了前后$i$个字符，整个字符串匹配完了的方案数。

1. KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 7: l+1=r \̲a̲n̲d̲ ̲s_l=s_r \or l=r。转移至$g_{i+1}$
2. $s_l=s_r$。转移至$f_{i+1,l+1,r-1}$和$f_{i+1,l,r}$。
3. $s_l\ne s_r$。转移至$f_{i+1,l+1,r}$和$f_{i+1,l,r-1}$和$f_{i+1,l,r}$。

$g_i$转移至$g_{i+1}$。

系数自己补上。

可以发现这是个有限状态自动机上匹配的过程：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-vSx6vCMB-1599968285590)(http://codeforces.com/predownloaded/61/e9/61e9c25b977bad7af00165b92070a9acabf16704.png)]

这里有$O(|s{|}^2)$个点，直接矩阵乘法会爆炸。

记$s_l=s_r$的点为绿点，$s_l\ne s_r$的点为红点。

从起点到终点有若干条路径，我们发现一条路径的贡献只跟经过的红点和绿点有关。

假如一条路径上有$i$个红点，那么就有$\lceil \frac{len-i}{2}\rceil$个绿点。

搞个类似于上面的dp来计算出每种路径出现了多少次。记作$g_i$。

把每个路径的贡献分别计算，时间复杂度$O(|s{|}^4\lg n)$。

还是过不去。把状态压成下面这样：

这样就只有$\frac{3}{2}|s|$个点。$g_i$挂在红点和绿点之间的横插边上。

直接矩阵乘法就好了。

如果是奇数的话这种方法还要修正一下：

在确定中间的那个数的时候，如果从$[i,i+1]$转移过来，那就不合法。

那就再用个矩阵乘法把这个贡献减掉。具体建图和上面类似，$g_i$只算$[i,i+1]$转移过来的贡献，终点没有自环。

有个常数优化的小trick：

由于矩阵乘法可以看做从小的编号向大的编号转移，于是如此枚举：j=i to n,k=i to j

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using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 210
#define ll long long
#define mo 10007
int n,m;
char s[N];
int f[N][N][N],g[N];
void add(int &a,int b){
    
    a=(a+b)%mo;}
int tot;
struct Matrix{
    
    
	int m[N*2][N*2];
} T,T0,S;
void multi(Matrix &a,Matrix &b){
    
    
	static Matrix c;
	for (int i=0;i<=tot;++i)
		for (int j=i;j<=tot;++j){
    
    
			ll sum=0;
			for (int k=i;k<=j;++k)
				sum+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
			c.m[i][j]=sum%mo;
		}
	memcpy(&a,&c,sizeof c);
}
void getpow(int n){
    
    
	memset(&S,0,sizeof S);
	for (int i=0;i<=tot;++i)
		S.m[i][i]=1;
	for (;n;n>>=1,multi(T,T))
		if (n&1)
			multi(S,T);
}
void build(bool er=1){
    
    
	tot=n+((n-1)/2+1)+1-1;
	memset(&T,0,sizeof T);
	for (int i=0;i<n;++i){
    
    
		if (i)
			T.m[i][i]=24;
		if (i<n-1)
			T.m[i][i+1]=1;
		int j=tot-((n-i-1)/2+1);
		T.m[i][j]=g[i];
	}
	for (int i=n;i<tot;++i){
    
    
		T.m[i][i]=25;
		T.m[i][i+1]=1;
	}
	T.m[tot][tot]=(er?26:0);
}
int main(){
    
    
	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	scanf("%s%d",s+1,&m);
	n=strlen(s+1);
	f[1][n][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=n;j>=i;--j)
			for (int k=0;k<=n-(j-i+1);++k)
				if (f[i][j][k]){
    
    
					int v=f[i][j][k];
					if (i+1==j && s[i]==s[j] || i==j)
						add(g[k],v);
					else if (s[i]==s[j])
						add(f[i+1][j-1][k],v);
					else{
    
    
						add(f[i+1][j][k+1],v);
						add(f[i][j-1][k+1],v);
					}
				}
	build();
	if (n+m&1){
    
    
		getpow((n+m+1>>1)+1);
		ll ans=S.m[0][tot];
		for (int k=0;k<n;++k){
    
    
			g[k]=0;
			for (int i=1;i<n;++i)
				if (s[i]==s[i+1])
					add(g[k],f[i][i+1][k]);
		}
		build(0);
		memset(&S,0,sizeof S);
		getpow((n+m+1>>1)+1);
		ans=(ans-S.m[0][tot]+mo)%mo;
		printf("%d\n",ans);
	}
	else{
    
    
		getpow((n+m>>1)+1);
		printf("%d\n",S.m[0][tot]);
	}
	return 0;
}